Đường cong thờ ơ mỏng

Nếu một người tiêu dùng tuân theo các tiên đề hợp lý của tính liên tục (nghĩa là không có sự nhảy vọt trong sở thích của anh ta), các đường cong bàng quan của một chức năng tiện ích được cho là mỏng.

Tại sao liên tục ( mà | z | ≥ y ∀ ε > 0 ) hàm ý đường bàng quan mỏng?$x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

Tôi không nghĩ rằng sự liên tục một mình là đủ để đảm bảo những đường cong thờ ơ mỏng manh.

Xem xét các ưu tiên sao cho, đối với bất kỳ và y nào trong tập hợp lựa chọn, người tiêu dùng không phân biệt giữa x và y . Điều này có vẻ như phải phù hợp với bất kỳ định nghĩa nào về đường cong bàng quan dày bởi vì toàn bộ lựa chọn nằm trên một đường cong bàng quan duy nhất!$x$$y$$x$$y$

Nhưng những sở thích này cũng đáp ứng định nghĩa của bạn về tính liên tục.

Vì vậy, có vẻ như tính liên tục chỉ ngụ ý các đường cong thờ ơ mỏng nếu nó được kết hợp với một số giả định khác.

Để bắt đầu, tôi nghĩ rằng câu hỏi được nêu sai. Vì nếu định nghĩa của đường cong thờ ơ mỏng là sự liên tục của sở thích của người tiêu dùng ngụ ý đường cong thờ ơ mỏng, thì chắc chắn, tính liên tục ngụ ý đường cong thờ ơ mỏng ... Câu trả lời cho câu hỏi của bạn.

Tuy nhiên, nếu chúng ta muốn tạo ra một định nghĩa phù hợp của một đường bàng quan mỏng, chúng tôi có thể nói rằng trước hết là một dày đường bàng quan, nơi Δ là tập hợp các gói có thể, và ở đâu ~ biểu thị sự thờ ơ, bất cứ khi nào tồn tại một q ' ∈ [ q ] và ε > 0 sao cho p ∈ N ε ( q ' ) ngụ ý p

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$$q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$ , nơi N ε ( q ' ) là một số epsilon-khu phố xung quanh q ' ; và thứ hai nói rằng [ q ] là mộtđường cong không phân biệtmỏngnếu nó không dày. Thông thường, điều này có nghĩa là có một vết sưng trên đường cong bàng quan dày [ q ] , nhưng không có vết sưng như vậy trên đường cong thờ ơ mỏng.$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$$[q]$

Về cơ bản, ở trên là một giải thích ngắn về Phương pháp hình học cho tiện ích mong đợi (Chatterjee & Krishna, 2006) . Sử dụng định nghĩa trên về đường cong bàng quan mỏng, chúng cho thấy trong Bổ đề 2.3 rằng (i) tính liên tục và (ii) độc lập ngụ ý các đường cong thờ ơ mỏng (lưu ý rằng chúng không chỉ ra rằng tính liên tục chỉ hàm ý các đường cong thờ ơ mỏng; . Định nghĩa của họ dựa trên hai khái niệm tô pô sau đây.

1. Giả định về tính liên tục. Tất cả các tập con và { q | p ≻ q } của Δ , nơi p ∈ Δ , mở cửa; ở đây, hãy nhớ rằng một tập mở là một tập hợp mà mỗi điểm trong đó có một vùng lân cận nằm trong tập đó. Do đó, khái niệm về tính liên tục này tương tự như của bạn.$\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. Giả định độc lập. Đối với tất cả , p ≻ q và λ ∈ ( 0 , 1 ] ngụ ý rằng λ p + ( 1 - λ ) r ≻ λ q + ( 1 - λ ) r ; điều này cho phép đối với một số đại số đẹp.$p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

Bây giờ, những gì họ thể hiện trong Bổ đề 2.3 về cơ bản là nếu bạn có một đường bàng quan và xem xét một số epsilon-khu phố N ε ( q ' ) xung quanh q ' ∈ [ q ] , sau đó p ∈ N ε ( q ' ) sẽ không ngụ ý rằng p ~ q ' cho tùy tiện nhỏ ε > 0 . Tức là nhỏ, không có vùng lân cận epsilon sao cho nó chỉ chứa các gói mà một trong số đó không phân biệt giữa các gói đó và $[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$ . Thay vào đó, mỗi epsilon-khu phố sẽ bao gồm điểm đó đều bị nghiêm ưa thích để q ' .$q'$$q'$

Đối với các hàm tiện ích liên tục, tôi nghĩ thật hữu ích khi lưu ý rằng hình ảnh của chúng trong ví dụ có (Lebesgue) số 0 (xem Làm thế nào để chứng minh rằng hình ảnh của một đường cong liên tục trong R 2 có số đo 0 ? )$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$