Điều kiện chuyển đổi trong mô hình tăng trưởng tân cổ điển

Trong mô hình tăng trưởng tân cổ điển có điều kiện chuyển đổi sau:

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$$ $k_{t+1}$$t$

Câu hỏi của tôi là:

1. Làm thế nào chúng ta rút ra điều kiện này?

2. Tại sao chúng ta yêu cầu điều này, nếu chúng ta muốn loại trừ những con đường không tích lũy nợ?

3. Tại sao các số nhân Lagrange giá trị chiết khấu hiện tại của vốn?$\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$

Điều kiện chuyển đổi có thể dễ hiểu hơn nếu chúng ta bắt đầu từ một vấn đề với đường chân trời hữu hạn.

Trong phiên bản tiêu chuẩn, mục tiêu của chúng tôi là tuân theo f ( k t ) - c t - k t +

$$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$$ vớik0 đãcho. Lagrangian liên quan (với nhânλt,μt, vàωt) là max { c t , k t + 1 , λ t , μ t , ω t } T t = 0 T Σ t = 0 βtu(ct)+λt( $$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$$ $k_0$$\lambda_t$$\mu_t$$\omega_t$ Các FOCs là c t $$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$$ với các điều kiện bổ sung kia tưởng đâu Kuhn-Tucker: chot=0,...,T, λ t ( f ( k t ) - c t - k t + 1 $$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$$ $t=0,\dots,T$ Kể từ khi chế tài nguyên phải được ràng buộc trong tất cả các giai đoạn, tức làλt>0cho tất cả cáct, nó sau đó ở giai đoạn cuối cùngT,ωT=λT>0, do đó hàm ýkT+1=0. $$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$$ $\lambda_t>0$$t$$T$$\omega_T=\lambda_T>0$$k_{T+1}=0$

$c_t>0$$t$$\mu_t=0$$t$

$$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$$

$(1)$ $(2)$$(3)$$T$

$$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$ $$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$

Trực giác của điều kiện chuyển đổi một phần là "không có tiền tiết kiệm trong giai đoạn cuối". Nhưng vì không có "khoảng thời gian cuối cùng" trong môi trường chân trời vô tận, chúng ta đi đến giới hạn khi thời gian trôi qua vô tận.

Theo tôi, đạo hàm tốt nhất là theo logic. Hãy suy nghĩ về nó theo cách này: Nếu điều duy nhất chúng ta nói với hộ gia đình là tối đa hóa tiện ích của nó, thì hành vi tối ưu sẽ chỉ là tạo ra nợ vô hạn và tiêu thụ vô hạn. Đây không phải là giải pháp hợp lý. Do đó chúng ta cần một điều kiện tối ưu khác. Điều này sẽ trả lời câu hỏi 2.

Trong một khung cảnh hữu hạn, tính khả thi sẽ đạt được bằng khoản nợ phải trả trong giai đoạn cuối. Điều này là không thể trong một thiết lập chân trời vô tận. Tuy nhiên, "loại trừ tích lũy nợ", như bạn đề xuất, là một điều kiện quá nghiêm ngặt (Điều kiện chuyển đổi cho phép nợ!).

$\beta^t \lambda_t k_{t+1}$$k_{t+1}$

Đối với câu hỏi 1: Để rút ra điều kiện này, bạn có thể đưa ra lập luận logic mà tôi vừa đưa ra, cho thấy rằng không có điều kiện chuyển đổi, đường dẫn vốn không tối ưu, hoặc, để chứng minh toán học, bạn có thể kiểm tra, ví dụ, Per Krusell's Notes (mặc dù khá khó nắm bắt)