Log-linearization của phương trình Euler với một kỳ hạn

10

Có một vài tài nguyên trực tuyến có sẵn để trợ giúp tuyến tính hóa log (ví dụ, tại đây hoặc tại đây ). Tuy nhiên, tuyến tính hóa log trong đó có một kỳ vọng có liên quan là một chút khó khăn vì nhật ký không thể đơn giản là "vượt qua" toán tử kỳ vọng. Ai đó có thể giúp với đại số trong ví dụ này?

Tôi có phương trình Euler (phương trình 1)

1 = = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{Tôi, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$ nơi. Tôi đang cố gắng rút ra một biểu thức cho tỷ lệ phi rủi ro và một biểu thức cho phí bảo hiểm vốn chủ sở hữu. Làm thế nào tôi nên đi về làm điều này?

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Có vẻ như từ liên kết thứ hai ở trên, tôi nên bắt đầu bằng cách thay thế các biến quan tâm như vậy . Sau đó làm theo các bước được đưa ra, có vẻ như tôi nên đến (phương trình 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = = E_{t} [{δ {(\frac{{\tilde{C}}_{t + 1} + 1}{{\tilde{C}}_{t} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{m}) [\tilde{(1 + R_{m, t + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{Tôi}) [\tilde{(1 + R_{Tôi, t + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

Nhưng tôi đi đâu từ đây?

BIÊN TẬP:

Tôi đã sao chép phương trình 1 trực tiếp từ các ghi chú mà tôi có. Có lẽ là trường hợp thuật ngữ bên phải, , phải nằm trong ngoặc đơn, . Trong nỗ lực ban đầu của tôi về tuyến tính hóa log, tôi đã xử lý nó theo cách này. $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
Trong phương trình 2, tôi đã làm theo các bước trong hướng dẫn có thể tìm thấy trong liên kết thứ hai ở đầu. Vì vậy, và không có đăng ký thời gian là những giá trị này ở trạng thái ổn định. $R_i$ $R_m$
$R_m$ là lợi nhuận của danh mục đầu tư thị trường và là lợi nhuận của tài sản . $R_i$ $i$

EDIT 2:

Cảm ơn các ý kiến hữu ích. Vì vậy, từ những gì tôi đã thu thập được cho đến nay, tôi sẽ nhận được một cái gì đó như thế này:

\begin{aligned} 1 & = = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{Tôi}) ((1 + {\tilde{R}}_{Tôi, t} \frac{R_{Tôi}}{1 + R_{Tôi}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

Sau đó, điều này có nghĩa là lãi suất phi rủi ro được tìm thấy như sau:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) (1 + R_{f})] \\ 1 & = E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{f})] \\ \frac{1}{E_{t} [m_{t + 1}]} & = 1 + R_{f} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

Điều này có đúng không? Và bây giờ, để kết thúc câu hỏi, làm thế nào tôi tìm được phí bảo hiểm?

macroeconomics asset-pricing

— ethan1410
nguồn

Tôi đang chạy trốn, nhưng bạn có quyền truy cập vào cuốn sách của Gali không? Tôi nghĩ rằng anh ấy làm điều đó một cách rộng rãi, iirc

— FooBar

Không. Có phải nó là cuốn sách Chính sách tiền tệ của anh ấy không? "Chính sách tiền tệ, lạm phát và chu kỳ kinh doanh?"

— ethan1410

Bình đẳng cuối cùng bạn đã đưa ra (1 so với lãi suất phi rủi ro bằng với kỳ vọng của sdf) luôn luôn đúng, vì vậy đó là một dấu hiệu tốt. Để tìm phí bảo hiểm vốn cổ phần, hãy tìm giá cho

, giá trị của khiếu nại đối với thị trường, sau đó trừ giá của lợi nhuận không rủi ro: 1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— jayk

4

Chúng ta hãy bỏ qua cho sự tồn tại của giá trị mong đợi. Nếu đây là một thiết lập xác định, việc tuyến tính hóa thông qua việc ghi nhật ký sẽ đơn giản và không có các thủ thuật liên kết mà OP cung cấp. Lấy các bản ghi tự nhiên trên cả hai mặt của phương trình đầu tiên, chúng ta có được:

\begin{matrix} (1) & 0 = = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{Tôi, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

Bộ

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

Ngoài ra, lưu ý rằng nó là xấp xỉ tiêu chuẩn để ghi ít nhất là cho . Thông thường đây là trường hợp với tốc độ tăng trưởng và tỷ lệ tài chính để chúng tôi có được $\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

đó là một mối quan hệ động rõ ràng liên kết ba biến hiện tại. Nếu trong mô hình, các trạng thái ổn định được đặc trưng bởi tiêu dùng và liên tục lợi nhuận liên tục, sau đó vào nó chúng ta sẽ có và do đó mối quan hệ trạng thái ổn định sẽ $\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{i} = - θ \ln δ + (1 - θ) R_{m} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

Nhưng chúng tôi đã làm tất cả những điều này bỏ qua giá trị mong đợi. Biểu thức của chúng tôi là , không chỉ $E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ . Nhập bản mở rộng Taylor thứ nhất của . Chúng tôi cần một trung tâm mở rộng. Biểu diễn bốn biến đơn giản bằng (điều này không ảnh hưởng đến việc một biến có -index có trong ). Chúng tôi chọn mở rộng chức năng xung quanh . Vì thế $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

Sau đó

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

Rõ ràng đây là một xấp xỉ, tức là nó có lỗi, ngay cả khi chỉ vì sự bất bình đẳng của Jensen. Nhưng đó là tiêu chuẩn thực hành. Sau đó, chúng ta thấy rằng tất cả các công việc trước đây chúng ta đã thực hiện trên phiên bản xác định, có thể được áp dụng trong phiên bản ngẫu nhiên chèn các giá trị dự kiến có điều kiện thay cho các biến. Vì vậy, eq. được viết $(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{Tôi, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

Nhưng đâu là giá trị trạng thái ổn định ? Chà, các giá trị trạng thái ổn định trong bối cảnh ngẫu nhiên có một chút khó khăn - chúng ta có cho rằng các biến của chúng ta (hiện được coi là biến ngẫu nhiên) trở thành hằng số không ? Hoặc có một cách khác để xác định trạng thái ổn định trong bối cảnh ngẫu nhiên?

Có nhiều hơn một cách. Một trong số đó, là "trạng thái ổn định tầm nhìn hoàn hảo", trong đó chúng tôi dự báo hoàn toàn một giá trị không nhất thiết không đổi (đây là khái niệm "cân bằng như mong đợi đã hoàn thành"). Đây là ví dụ được sử dụng trong cuốn sách của Jordi Gali được đề cập trong một bình luận. "Trạng thái ổn định tầm nhìn hoàn hảo" được xác định bởi

\begin{matrix} (số 8) & E_{t} (x_{t + 1}) = = x_{t + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

Theo khái niệm này, eq. trở thành eq. hiện là phương trình "trạng thái ổn định ngẫu nhiên hoàn hảo tầm nhìn xa" của nền kinh tế. $(7)$ $(3)$

Nếu chúng ta muốn một điều kiện mạnh hơn, nói rằng các biến trở thành hằng số ở trạng thái ổn định, thì cũng hợp lý để lập luận rằng, một lần nữa, dự báo của chúng cuối cùng sẽ hoàn hảo. Trong trường hợp đó, trạng thái ổn định của nền kinh tế ngẫu nhiên cũng giống như trạng thái của nền kinh tế xác định, tức là eq. . $(4)$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

@jmbejara Điều này là hoàn toàn chính xác . Đó là giá trị mong đợi của phép tính xấp xỉ thứ tự đầu tiên Taylor rút gọn của hàm. Bạn có không đồng ý với điều đó không? Cho dù bạn coi nó là một xấp xỉ dưới mức tối ưu , là một vấn đề khác, và phải làm với tiêu chí nào bạn sử dụng để đánh giá chất lượng và tính thỏa đáng của xấp xỉ.

— Alecos Papadopoulos

Đồng ý. Bạn có một điểm. Nhưng, như bạn nói, tôi không chắc điều tốt nhất trong tình huống này là gì. Nhưng dường như có nhiều cách khác nhau để đi về nó. Chắc chắn có điều gì đó để nói về sự thiên vị, nhưng bạn đưa ra một điểm tốt. Tôi sẽ hoàn tác việc bỏ phiếu ngay khi nó cho phép tôi.

— jmbejara

3

Xấp xỉ đúng là . Đây là không thiên vị, trong khi $f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ thì không. Để thấy điều này, dự án trên , nơi mà các "thanh" đại diện cho các nhà điều hành mong đợi. Sau đó, xấp xỉ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ Xấp xỉ này là chính xác khithường được phân phối (bởi bổ đề của Stein).

\frac{Cov (f (x), x)}{Biến (x)} \approx E [f^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

BIÊN TẬP:

Để làm rõ, thấy rằng các dự báo của trên cho chúng ta , nơi và $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ . Nếu chúng ta sử dụng Bổ đề Stein để xấp xỉnhư mô tả ở trên, chúng tôi là trái với đó là không thiên vị, Mặt khác, $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ε,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ε] = = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

E [f (E [x]) + f^{'} (E [X]) (x - E [x])] = = f (E [x]) \neq E [f (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— jmbejara
nguồn

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

E [f (x)] \approx f (x) - \frac{Cov (f (x), x)}{Var (x)} \cdot [x - E (x)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

3

Vấn đề của bạn có vẻ giống như phương trình định giá tài sản với các ưu tiên đệ quy (Epstein-Zin). Khi quan tâm đến giá tài sản, người ta phải cẩn thận với tuyến tính hóa "kinh tế vĩ mô" thông thường. Một xấp xỉ như vậy là tương đương chắc chắn, có nghĩa là các hệ số của giải pháp tuyến tính hóa không phụ thuộc vào kích thước của các cú sốc. Hơn nữa, tất cả các biến trong giải pháp tuyến tính sẽ dao động xung quanh trạng thái ổn định xác định của chúng. Kết quả là, rủi ro là không, loại nào bất chấp quan điểm.

Một giải pháp là sử dụng các phương pháp gây nhiễu bậc cao hơn (bậc 2 để có được tiền đề rủi ro liên tục, bậc 3 cho các giai đoạn thay đổi theo thời gian). Điều này rất dễ thực hiện với phần mềm hiện có (ví dụ Dynare) nếu bạn muốn giải quyết mô hình bằng mọi cách (trong trường hợp đó cũng không cần phải tuyến tính hóa thủ công). Nếu thay vào đó, giải pháp phân tích (gần đúng) được ưa thích hơn, cách thông thường là tuyến tính hóa động lực của số lượng (ví dụ như tăng trưởng tiêu thụ), sau đó lấy giá tài sản trực tiếp từ phương trình Euler, tính toán kỳ vọng bằng giả định lognormality, như trong Bansal & Yaron (2004) .

Ví dụ: nếu các biến chữ thường là nhật ký, phương trình Euler thông thường có thể được viết lại thành

1 = = E_{t} [điểm kinh nghiệm (m_{t + 1} + r_{t + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

$m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = = E_{t} [m_{t + 1}] + E_{t} [r_{t + 1}] + \frac{1}{2} {V một r_{t} [m_{t + 1}] + V một r_{t} [r_{t + 1}] + 2 C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

r_{t}^{f} = = - E_{t} [m_{t + 1}] - \frac{1}{2} V một r_{t} [m_{t + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

và do đó chúng ta phải có

E_{t} [r_{t + 1}] - r_{t}^{f} + \frac{1}{2} V một r_{t} [r_{t + 1}] = = C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

Để thực sự tính giá tài sản, người ta sẽ

thể hiện log-SDF như một hàm tuyến tính của một số biến trạng thái và các cú sốc (ví dụ: tăng trưởng tiêu thụ log trong trường hợp CRRA)
tuyến tính hóa lợi nhuận theo tỷ lệ cổ tức log-giá (xấp xỉ Campbell-Shiller), thay thế vào (1).
biểu thị tỷ lệ D / P của log theo tuyến tính trong các biến trạng thái, sau đó sử dụng phương pháp các hệ số không xác định để có được một giải pháp cho nó thỏa mãn (1).

Trong thực tế, nó phức tạp hơn một chút (đặc biệt là với các ưu tiên EZ, khi người ta phải sử dụng cách tiếp cận trước tiên để lấy lại lợi nhuận thị trường vào SDF, sau đó lần thứ hai cho các khoản lãi khác), nhưng có thể tìm thấy nhiều chi tiết hơn, ví dụ như trong Bansal & Yaron được liên kết giấy.

— ngà voi
nguồn

1

Chính xác. Có vẻ như sự nhầm lẫn trong chủ đề này xuất phát từ thực tế là trong một xấp xỉ bậc một của phương trình Euler để định giá tài sản, không có phí bảo hiểm rủi ro. (Tất nhiên, hiệp phương sai giữa SDF và trả lại, tất nhiên, vốn là thứ hai.) Cảm ơn vì đã làm rõ điều này.

— trên danh nghĩa cứng nhắc