Đường cong tính toán và thờ ơ trong một ví dụ kinh tế đô thị

Tôi đang đọc bài báo " Cấu trúc của cân bằng đô thị " của Jan Brueckner.

Nó sử dụng mô hình thành phố đơn tâm, nơi tất cả người tiêu dùng có thu nhập $y$ ở trung tâm thành phố. Họ mua $q$ nhà ở với giá $p$ ở khoảng cách $x$ từ trung tâm, phát sinh chi phí vận chuyển $tx$ .

Người tiêu dùng có chức năng tiện ích:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

trong $\phi=x,y,t,u$

Hạn chế về ngân sách là:

$c = y - tx - pq$

Điều kiện tiếp tuyến ngụ ý:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

trong đó chỉ số 1 biểu thị sự khác biệt một phần ghi lại đối số đầu tiên, v.v.

Bài báo sau đó thảo luận về cách và q thay đổi theo x , y , t và u .$p$$q$$x, y, t$$u$

Nếu , chúng ta vẫn ở trên cùng một đường cong bàng quan. Tôi thấy nó tương đối đơn giản để tìm ∂ $\phi=x,y,t$ và∂$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$ .$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

Nếu là độ dốc của đường cầu bù thu nhập, thì ∂ $\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$ .

Bây giờ để cho phép thay đổi. Ràng buộc ngân sách dao động để đáp ứng một đường cong bàng quan mới, xác định p và q mới .$u$$p$$q$

Tôi có thể tìm thấy . Hoàn toàn phân biệt chức năng tiện ích wrt u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Vì, bởi điều kiện tiếp tuyến :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Vì vậy, $\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$ .

Bài báo sau đó trích dẫn:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

Tôi không biết làm thế nào để có được điều này. Tôi đoán thuật ngữ đầu tiên trong ngoặc vuông là hiệu ứng thay thế và thuật ngữ thứ hai là hiệu ứng thu nhập.

Xin hãy giúp tôi hiểu biểu thức cuối cùng này và làm thế nào để lấy được nó.$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$