Sự ổn định của trạng thái cân bằng trạng thái ổn định cho mô hình thế hệ chồng chéo

Từ lời giới thiệu của Daron Acemoglu về tăng trưởng kinh tế hiện đại, đề xuất 9.4 là:

Trong mô hình chồng chéo-hệ với hai giai đoạn sống hộ gia đình, công nghệ Cobb-Douglas và sở thích CRRA, tồn tại một trạng thái cân bằng trạng thái ổn định độc đáo với vốn lao động tỷ lệ k * cho bởi (9.15) và chừng nào $\theta \geq 1$ , trạng thái cân bằng trạng thái ổn định này là ổn định toàn cầu với mọi k (0)> 0.

nơi (9.15) là:

(1 + viết sai rồi) [1 + β^{- \frac{1}{θ}} (α (k^{*})^{α - 1})^{\frac{θ - 1}{θ}}] = = (1 - α) (k^{*})^{α - 1}

$(1+n)[1+\beta^{-\frac{1}{\theta}}(\alpha(k^*)^{\alpha-1})^{\frac{\theta-1}{\theta}}] = (1-\alpha)(k^*)^{\alpha - 1}$

Câu hỏi của tôi là lý do tại sao $\theta$ phải lớn hơn hoặc bằng 1 cho sự cân bằng trạng thái ổn định được ổn định trên toàn cầu?

Vì sách giáo khoa xuất phát từ (9.17):

k (t + 1) = = \frac{(1 - α) k (t)^{α}}{(1 + viết sai rồi) [1 + β^{- \frac{1}{θ}} (α k (t + 1)^{α - 1})^{\frac{θ - 1}{θ}}]}

$k(t+1)=\frac{(1-\alpha)k(t)^\alpha}{(1+n)[1+\beta^{-\frac{1}{\theta}}(\alpha k(t+1)^{\alpha-1})^{\frac{\theta-1}{\theta}}]}$

Chúng ta có thể sắp xếp lại để có được:

\begin{aligned} k (t) & = [\frac{1 + n}{1 - α} [k (t + 1) + β^{- \frac{1}{θ}} α^{\frac{θ - 1}{θ}} k (t + 1)^{(α - 1) (1 - \frac{1}{θ}) + 1}]]^{\frac{1}{α}} .....(1) \end{aligned}

$\begin{align} k(t)&=\big[ \frac{1+n}{1-\alpha} [k(t+1)+\beta^{-\frac{1}{\theta}}\alpha^{\frac{\theta-1}{\theta}}k(t+1)^{(\alpha-1)(1-\frac{1}{\theta})+1}] \big]^\frac{1}{\alpha} \text{ .....(1)} \end{align}$

Hãy , , . $n = 0.01$ $\alpha = 0.25$ $\beta = 0.75$

Nếu , chúng ta có thể vẽ đồ thị: $\theta = 1$

Dòng màu xanh là phương trình (1) trong đó và đường màu đỏ là 45 độ dòng. Có thể thấy rằng với mọi k> 0, k sẽ hội tụ về trạng thái ổn định k *. Trạng thái cân bằng trạng thái ổn định là ổn định toàn cầu. $\theta = 1$

Trường hợp này cũng tương tự đối với , trong đó cân bằng trạng thái ổn định là ổn định toàn cầu. $\theta > 1$

Nếu , như , chúng ta có thể vẽ đồ thị tương tự như: $\theta < 1$ $\theta = 0.5$

Đồ thị cũng tương tự như đồ thị cho các trường hợp đó . Trạng thái cân bằng trạng thái ổn định vẫn ổn định toàn cầu. $\theta \geq 1$

Tôi không thể tìm thấy trường hợp , nhưng trạng thái cân bằng trạng thái ổn định không ổn định toàn cầu. Dường như $\theta < 1$ choxác định hình dạng của phương trình (1), làm cho cân bằng trạng thái ổn định ổn định toàn cầu. Sẽ tốt hơn nếu ai đó có thể chỉ cho tôi một ví dụ ngược trong đó, nhưng trạng thái cân bằng trạng thái ổn định không ổn định trên toàn cầu. Sẽ tốt hơn nếu ai đó có thể chỉ cho tôi cách chứng minh mệnh đề 9,4 chính thức. $\frac{1}{\alpha} > 1$ $\alpha \in (0,1)$ $\theta < 1$

Lời cảm ơn: Các biểu đồ được sửa đổi từ những biểu đồ được tạo bởi Wolframalpha.

Chỉnh sửa (ngày 19 tháng 4 năm 2017) : Trường hợp : Lưu ý rằng khi sách giáo khoa xuất phát (9.17), nó ngầm giả định rằng (đối với nguồn gốc của phương trình Euler để tiêu thụ tại P.333 của phiên bản năm 2009 của cuốn sách giáo khoa). Khi , phương trình (1) không còn được áp dụng. Về miền lễ hội tối đa hóa thỏa dụng với : $\theta = 0$ $\theta \neq 0$ $\theta = 0$ $\theta = 0$

max U (t) = c_{1} (t) + β (c_{2} (t + 1)) such that c_{1} (t) + \frac{c_{2} (t + 1)}{R (t + 1)} = w (t) \Leftrightarrow max U (t) = c_{1} (t) + β (w (t) - c_{1} (t)) R (t + 1) = c_{1} (t) (1 - β R (t + 1)) + β R (t + 1) w (t) ...Should treat R(t+1) as given as consumer's own optimization problem

$\text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(c_2(t+1)) \text{ such that } c_1(t) + \frac{c_2(t+1)}{R(t+1)} = w(t) \\ \Leftrightarrow \text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(w(t) - c_1(t))R(t+1) = c_1(t) (1 - \beta R(t+1)) + \beta R(t+1)w(t) \\ \text{ ...Should treat R(t+1) as given as consumer's own optimization problem}$

s (t) phải không âm đối với và k (t + 1) là không âm. $k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n}$

c_{1} (t)^{*} = {\begin{cases} w (t), for β R (t + 1) < 1 \\ [0, w (t)], for β R (t + 1) = 1 \\ 0, for β R (t + 1) > 1 \end{cases}

$c_1(t)^* = \begin{cases} w(t)\text{, for }\beta R(t+1) <1 \\ [0, w(t)]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \\ 0\text{, for }\beta R(t+1) > 1 \\ \end{cases}$

Đối với

S (t)^{*} = = {\begin{cases} 0, cho β R (t + 1) < 1 \\ w (t) - c_{1} (t)^{*} \in [0, w (t)], cho β R (t + 1) = = 1 \\ w (t), cho β R (t + 1) > 1 \end{cases}

$s(t)^* = \begin{cases} 0\text{, for }\beta R(t+1) <1 \\ w(t) - c_1(t)^* \in [0, w(t)]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \\ w(t)\text{, for }\beta R(t+1) > 1 \\ \end{cases}$

R (t + 1) = f^{'} (k (t + 1)) = α k (t + 1)^{α - 1}

$R(t+1) = f'(k(t+1)) = \alpha k(t+1)^{\alpha - 1}$

k (t + 1) = = \frac{S (t)}{1 + viết sai rồi} = = {\begin{cases} 0, cho β R (t + 1) < 1 \Leftrightarrow k (t + 1) < (α β)^{\frac{1}{1 - α}} \\ \frac{w (t) - c_{1} (t)}{1 + viết sai rồi} \in [0, \frac{w (t)}{1 + viết sai rồi}], cho β R (t + 1) = = 1 \Leftrightarrow k (t + 1) = = (α β)^{\frac{1}{1 - α}} \\ \frac{w (t)}{1 + viết sai rồi} = = \frac{k (t)^{α} - k (t) α k (t)^{α - 1}}{1 + viết sai rồi} = = \frac{1 - α}{1 + viết sai rồi} k (t)^{α}, nếu không thì \Leftrightarrow k (t) > [\frac{1 + viết sai rồi}{1 - α} (α β)^{\frac{1}{1 - α}}]^{\frac{1}{α}} \end{cases}

$k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = \begin{cases} 0\text{, for }\beta R(t+1) <1 \Leftrightarrow k(t+1) < (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}} \\ \frac{w(t) - c_1(t)}{1+n} \in [0, \frac{w(t)}{1+n}]\text{, for }\beta R(t+1) = 1 \Leftrightarrow k(t+1) = (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}\\ \frac{w(t)}{1+n} = \frac{k(t)^\alpha - k(t)\alpha k(t)^{\alpha -1}}{1+n} = \frac{1-\alpha}{1+n}k(t)^\alpha\text{, otherwise} \Leftrightarrow k(t) > [\frac{1+n}{1 - \alpha} (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}]^{\frac{1}{\alpha}} \\ \end{cases}$

$\beta R(t+1) < 1 \Leftrightarrow R(t+1) < \frac{1}{\beta}$ $f(k)$ $lim_{k(t) \to 0} f'(k(t)) = \infty$ $f'(k(t)) = R(t)$ $lim_{k(t) \to 0} R(t) < \infty$ $R(t) < \frac{1}{\beta} < \infty$ $\beta \in (0,1)$

$\beta R(t+1) = 1 \Leftrightarrow \beta \alpha k(t+1)^{\alpha-1} = 1 \Leftrightarrow k(t+1)^{\alpha-1} = \frac{1}{\alpha \beta} \Leftrightarrow k(t+1)^{1-\alpha} = \alpha \beta$ $\mathcal{S}(t) = \frac{s(t)}{w(t)}$ $k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = \frac{\mathcal{S}(t)w(t)}{1+n} = \frac{\mathcal{S}(t)(1-\alpha)k(t)^\alpha}{1+n}$ $k^* = \frac{\mathcal{S}^*(1-\alpha){k^*}^\alpha}{1+n}$ $\mathcal{S}^* = \frac{1+n}{1-\alpha}{k^*}^{1-\alpha} = \frac{1+n}{1-\alpha} \alpha \beta$ $\mathcal{S}^* > 1 \Leftrightarrow (1+n)\alpha\beta > 1 - \alpha \Leftrightarrow \beta > \frac{1 - \alpha}{\alpha (1+n)}$

$\beta R(t+1) > 1$

k (t + 1) = = \frac{1 - α}{1 + viết sai rồi} k (t)^{α}

$k(t+1) = \frac{1-\alpha}{1+n} k(t)^\alpha$

k (t + 1) = \frac{1 - α}{1 + n} k (t)^{α}

$k(t+1) = \frac{1-\alpha}{1+n} k(t)^\alpha$

0 < α < 1

$0 < \alpha < 1$

k^{*} = \frac{1 - α}{1 + n} {k^{*}}^{α} \Leftrightarrow k^{*} = [\frac{1 - α}{1 + n}]^{\frac{1}{1 - α}}

$k^* = \frac{1-\alpha}{1+n} {k^*}^\alpha \Leftrightarrow k^* = [\frac{1-\alpha}{1+n}]^{\frac{1}{1-\alpha}}$

macroeconomics economic-growth

— Chris Cheung
nguồn

Trong p. 334 của cuốn sách (phiên bản 2009), tôi đọc:

$k^*$ $\theta >0$

$\theta \geq 1$

$\theta =0$

$\theta=0$

$c_2=0$ $c_1=0$

tối đa Bạn = = c_{1} (t) + β R (t + 1) [w (t) - c_{1} (t)] S . t . 0 \leq c_{1} (t) < w (t)

$\max U = c_1(t) + \beta R(t+1)[w(t)-c_1(t)]\;\;\; s.t.\;\; 0\leq c_1(t) < w(t)$

Vì vậy, Lagrangian là

Λ = = c_{1} (t) + β R (t + 1) [w (t) - c_{1} (t)] + λ c_{1} (t)

$\Lambda = c_1(t) + \beta R(t+1)[w(t)-c_1(t)] + \lambda c_1(t)$

và foc là

1 - β R (t + 1) + λ \leq 0, (1 - β R (t + 1) + λ) \cdot c_{1} (t) = = 0

$1 - \beta R(t+1) +\lambda \leq 0,\;\;\;\; (1 - \beta R(t+1) +\lambda)\cdot c_1(t) = 0$

Tôi sẽ bỏ qua các vấn đề của điều kiện thứ hai tối đa.

c_{1}^{*} (t) > 0 ⟹ λ = = 0 ⟹ 1 = = β R (t + 1)

$c_1^*(t) >0 \implies \lambda=0 \implies 1 = \beta R(t+1)$

⟹ 1 = = β một k (t + 1)^{một - 1} ⟹ k (t + 1) = = (một β)^{1 / (1 - một)}

$\implies 1 = \beta ak(t+1)^{a-1} \implies k(t+1) = (a\beta)^{1/(1-a)}$

$k(0) >0$

c_{1}^{*} (t) = = 0 ⟹ λ > 0 ⟹ 1 - β R (t + 1) + λ \leq 0 ⟹ β R (t + 1) > 1

$c_1^*(t) =0 \implies \lambda>0 \implies 1 - \beta R(t+1) +\lambda \leq 0 \implies \beta R(t+1) > 1$

⟹ β một k (t + 1)^{một - 1} > 1 ⟹ k (t + 1) < (một β)^{1 / (1 - một)}

$\implies \beta ak(t+1)^{a-1} >1 \implies k(t+1) < (a\beta) ^{1/(1-a)}$

$k(0)$

$k(0)>0$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

θ = 0

$\theta = 0$

k (t) = [\frac{1 + n}{1 - α} k (t + 1)]^{\frac{1}{α}}

$k(t) = [\frac{1+n}{1-\alpha}k(t+1)]^{\frac{1}{\alpha}}$

— Chris Cheung

θ = 0

$\theta =0$

— Alecos Papadopoulos

tối đa Bạn (t) = = c_{1} (t) + β (w (t) - c_{1} (t)) R (t + 1) = = w (t) - S (t) + \frac{α β}{(1 + viết sai rồi)^{α - 1}} S (t)^{α}

$\text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(w(t) - c_1(t))R(t+1) \\ = w(t) - s(t) + \frac{\alpha\beta}{(1+n)^{\alpha - 1}} s(t)^\alpha$

s (t)

$s(t)$

s (t)^{*} = (1 + n) (α^{2} β)^{\frac{1}{1 - α}}

$s(t)^* = (1+n)(\alpha^2 \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}$

k (t + 1) = \frac{s (t)}{1 + n} = (α^{2} β)^{\frac{1}{1 - α}},a constant

$k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = (\alpha^2 \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}\text{ ,a constant}$

k^{*} = (α^{2} β)^{\frac{1}{1 - α}}

$k^* = (\alpha^2 \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}$

k^{*}

$k^*$

— Chris Cheung

θ = 0

$\theta =0$ là làm cho tuyến tính tiêu dùng hoàn toàn, (cả đương thời và liên thời), trong đó đưa ra các vấn đề về tính độc đáo. Ngoài ra, tôi có ấn tượng rằng bạn đã phân biệt Tỷ lệ lãi suất liên quan đến tiết kiệm, nhưng đây là giải pháp "kế hoạch trung tâm", không phải là giải pháp cạnh tranh mà các phần thưởng được các cá nhân coi là quyết định thị trường và rất ngoại sinh đối với vấn đề tối ưu hóa của họ.

— Alecos Papadopoulos

θ = 0

$\theta = 0$

θ = 0

$\theta = 0$

θ = 0

$\theta=0$ giới thiệu vấn đề duy nhất không?

— Chris Cheung