Hoàn thành thị trường trong thời gian liên tục

Trong các nền kinh tế thời gian rời rạc tiêu chuẩn với số lượng trạng thái hữu hạn, , nền kinh tế thị trường hoàn chỉnh chỉ đơn giản là một nền kinh tế có n tài sản độc lập (Think Ljunqvist và Sargent Chương 8). Điều này là do n tài sản độc lập là đủ để mở rộng tập hợp các trạng thái vào ngày mai.$n$$n$$n$

Tôi đã có một cuộc thảo luận với một giáo sư vào tuần trước, trong đó ông nói rằng một trong những tiện ích của thời gian liên tục khi nghĩ về giá tài sản là trong nền kinh tế thời gian liên tục, người ta có thể có được thị trường hoàn chỉnh chỉ bằng trái phiếu không rủi ro và tài sản rủi ro ( độc lập) cho mỗi chuyển động Brown trong nền kinh tế.

Anh ấy giải thích nó khi chúng tôi nói chuyện, vì vậy tôi nghĩ rằng tôi chủ yếu hiểu nó, nhưng tự hỏi liệu ai đó có phiền khi viết ra các chi tiết không?

Tôi có thể sẽ dành một hoặc hai ngày trong tuần này cho nó (phụ thuộc vào một số tính chất của phép tính vi phân), vì vậy nếu không có ai trả lời câu hỏi thì hy vọng tôi có thể cung cấp câu trả lời thỏa đáng.

Tôi là người cuối cùng nên trả lời những câu hỏi liên tục như thế này, nhưng nếu không có ai khác tôi đoán tôi sẽ cho nó một phát. (Bất kỳ sự điều chỉnh nào về tài chính thời gian liên tục được nhớ đến của tôi đều rất đáng hoan nghênh.)

Ấn tượng của tôi luôn luôn là điều này được giải thích tốt nhất là hệ quả của định lý đại diện martingale . Tuy nhiên, trước tiên, tôi sẽ lỏng lẻo thiết lập một số ký hiệu. Hãy để cho không gian xác suất được tạo ra bởi các quá trình Wiener độc lập ( Z 1 t , ... , Z n t ) . Để có n + 1 tài sản, trong đó giá trị của tài sản thứ i tại t được đưa ra bởi S i t . Giả sử rằng tài sản i = 0 là trái phiếu không rủi ro d S $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$, trong khi tài sảni=1,...,nlà mỗi nguy hiểm và được thúc đẩy bởi sự tương ứngZ i t : dS i t =μ i t dt+σ i t dZ i t Giả sử có một quá trình SDF tích cực nghiêm ngặtmtbình thường hóa thànhm0=1, sao chom$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ $m_t$$m_0=1$ là một martingale cho mỗi i (về cơ bản là định nghĩa của SDF) và trong đó d m t = ν t d t + ψ t ⋅ d Z t (Tôi sử dụng ⋅ làm sản phẩm chấm, sẽ thuận tiện.)$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Cuối cùng, hãy để chiều vector θ t có danh mục đầu tư của chúng tôi vào thời điểm t , như vậy mà ròng trị giá Một t được cho bởi $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$ . Giả sử rằng A 0 là cố định và hơn nữa chúng ta có d A t = θ t ⋅ d S t Bây giờ tôi sẽ nêu mục tiêu, nắm bắt được bản chất của thị trường hoàn chỉnh. Giả sử rằng thế giới kết thúc tại thời điểm T và chúng ta muốn giá trị ròng A $A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$để bằng một ngẫu nhiên nào đó , có thể phụ thuộc vào toàn bộ lịch sử lên cho đến khi thời gian T . Giả sử rằng A 0 = E 0 [ m T Y ] , vì vậy mà trong một thế giới với các thị trường hoàn toàn chúng ta có thể (tại t = 0 ) sử dụng sự giàu có ban đầu của chúng tôi Một 0 để mua thời gian t = T thanh toán Y . Trong sự vắng mặt của các thị trường này hoàn toàn trực tiếp, câu hỏi là liệu có vẫn một số chiến lược cho danh mục đầu tư θ t mà sẽ cho phép chúng tôi để có được một $Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$ ở tất cả các bang trên thế giới. Và câu trả lời, trong thiết lập này, là có.$A_T=Y$

$d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

$E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$

Tôi đã có ý định đăng bài này trong một thời gian dài. Tôi đã xem qua điều này và nghĩ rằng nó có thể thêm một số hiểu biết. Ví dụ này là từ "Lý thuyết định giá tài sản tài chính" của Munk.

Hãy xem xét hình sau đây. Chúng ta cần bao nhiêu tài sản để có một thị trường hoàn chỉnh?

$N$$N$

(i) sự không chắc chắn không được tiết lộ hoàn toàn ngay lập tức, nhưng từng chút một và (ii) chúng ta có thể giao dịch linh hoạt trong tài sản. Trong ví dụ này, có ba lần chuyển đổi có thể có của nền kinh tế từ thời điểm 0 sang thời điểm 1. Từ phân tích một kỳ của chúng tôi, chúng tôi biết rằng ba tài sản đủ khác nhau đủ để 'vượt qua' sự không chắc chắn này. Từ lần 1 đến lần 2, có hai, ba hoặc một lần chuyển đổi có thể có của nền kinh tế, tùy thuộc vào trạng thái của nền kinh tế tại thời điểm 1. Nhiều nhất, chúng ta cần ba tài sản đủ khác nhau để vượt qua sự không chắc chắn trong giai đoạn này. Tổng cộng, chúng tôi có thể tạo ra bất kỳ quy trình cổ tức nào nếu chúng tôi chỉ có quyền truy cập vào ba tài sản đủ khác nhau trong cả hai giai đoạn.

Trong trường hợp phiên bản cây đa cực chung của thị trường thời gian rời rạc trạng thái hữu hạn, tổng quát hơn, chúng ta có thể cho mỗi nút trong cây xác định số lượng bao trùm là số nhánh của cây con rời khỏi nút đó. Thị trường sau đó hoàn tất nếu, đối với bất kỳ nút nào trong cây, số lượng tài sản được giao dịch độc lập tuyến tính trong giai đoạn sau bằng với số kéo dài.

Bây giờ, trong trường hợp mô hình thời gian liên tục trong đó độ không đảm bảo được tạo ra bởi chuyển động Brownian tiêu chuẩn d chiều, đối số rất phức tạp, nhưng Munk đưa ra một số hiểu biết dựa trên cuộc thảo luận trước đó.

Kết quả khá trực quan khi đưa ra các quan sát sau:

1. Đối với những thay đổi liên tục trong một thời điểm, chỉ có phương tiện và phương sai mới là vấn đề.
2. $dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Với giao dịch liên tục, chúng ta có thể điều chỉnh mức độ tiếp xúc với các cú sốc ngoại sinh bất cứ lúc nào.

$d+1$$d+1$