Trong mô hình New Keynesian được tuyến tính hóa, , , thực sự có nghĩa là gì?

Đây có thể là một câu hỏi kỳ lạ, nhưng tôi không may bị nhầm lẫn bởi các điều khoản. Chúng ta hãy giả sử mô hình New Keynesian được tuyến tính hóa theo đề xuất của Gali tại đây: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

Câu hỏi đầu tiên của tôi là, rõ ràng giá trị ổn định được giả định làm log-tuyến tính của , sản lượng, nhưng là này một giá trị không đổi, hoặc toàn bộ đường dẫn đầu ra ổn định? Tương tự, liệu về sản lượng sẽ phát triển như thế nào nếu phát triển mà không có các yếu tố ngẫu nhiên và sai sót theo tỷ lệ tự nhiên dài hạn?Y t Y Y Y $Y$$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

Câu hỏi thứ hai của tôi, liên quan đến câu hỏi đầu tiên, là liệu đề cập đến tổng sản lượng hoặc sản lượng chuẩn hóa hay không. Đó là, nếu nền kinh tế có tốc độ tăng trưởng sản lượng tích cực, liệu sẽ tăng trưởng? Hoặc là đầu ra được chuẩn hóa mà không thay đổi mà không có các yếu tố ngẫu nhiên?Y $Y_t$$Y_t$

Câu hỏi thứ ba của tôi là, thực sự có nghĩa là gì. Theo tôi hiểu, nó chỉ là . Điều này có đúng không? log Y $y_t$$\log Y_t$

Thực tế là phương trình euler tiêu dùng tồn tại dường như hỗ trợ trực giác rằng là đường đầu ra ổn định, không phải giá trị ổn định không đổi, vì lãi suất thực thường dương cho nền kinh tế. Sự nhầm lẫn của tôi tăng lên từ đây, và tôi không chắc đây có phải là sự hiểu biết chính xác hay không.$Y$

Quá trình tuyến tính hóa log được thực hiện trong vùng lân cận trạng thái ổn định với lạm phát bằng 0, sản lượng không đổi và đánh dấu không đổi so với chi phí cận biên, như đã nêu trên slide 11 của bản trình bày Galí mà bạn liên kết. Do đó, thực sự được dự định là một giá trị không đổi, mức đầu ra trạng thái ổn định xung quanh đó thực hiện tuyến tính hóa log. Y t chỉ là mức tổng sản lượng trong khoảng thời gian t , trong khi y t = log Y t là giá trị nhật ký của tổng sản lượng, như bạn nói.$Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

Một số điểm bổ sung có vẻ có liên quan ở đây:

• Việc tạo ra mô hình New Keynes cơ bản này được thực hiện theo giả định rằng không có sự tăng trưởng sản lượng theo xu hướng ổn định. Chúng ta chỉ có thể chắc chắn rằng các phương trình tuyến tính hóa log gần đúng cho các tình huống trong đó bất kỳ sai lệch nào từ trạng thái ổn định tăng trưởng bằng không này là đủ nhỏ. Rõ ràng, vì chúng ta đang sống trong một thế giới có sự tăng trưởng theo xu hướng tích cực rõ rệt, đây có thể là một vấn đề - vì vậy đây là một mối quan tâm rất hợp lệ từ phía bạn.
• Khi điều đó xảy ra, tôi tin rằng các phương trình rất giống nhau khi chúng ta tuyến tính hóa xung quanh trạng thái ổn định với tăng trưởng năng suất xu hướng tích cực (nhưng vẫn duy trì giả định lạm phát xu hướng bằng không). Cụ thể, khi được quy định về khoảng cách đầu ra và lãi suất tự nhiên như trong phương trình của Galí (10), phương trình Euler giữa các bên là hoàn toàn giống nhau (mặc dù lưu ý rằng tỷ lệ tự nhiên trạng thái ổn định cao hơn, trong đó g a là tốc độ tăng trưởng xu hướng của năng suất). Đường cong New Keynesian Phillips là một Messier nhỏ: trong trường hợp sở thích log σ = $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$, Có một số hủy tốt đẹp và chúng tôi có được giống hệt nhau NKPC, nhưng đối với khác lãi suất chiết khấu về lạm phát trong tương lai là không còn β . Tuy nhiên, đây là điều khó chịu hơn nhiều để giải quyết, đó là lý do tại sao Galí tránh nó để giải thích đơn giản và bị mắc kẹt với trạng thái ổn định tăng trưởng bằng không.$\sigma$$\beta$
• Như đã đề cập ở trên, cả , Y t và y t đều không phải là "đầu ra chuẩn hóa" dưới bất kỳ hình thức nào. Tuy nhiên, chênh lệch sản lượng ~ y t ≡ y t - y n t quy định tại phương trình Gali (7) là có hiệu quả dữ liệu ghi nhận bình thường, trừ ra khỏi log "đầu ra tự nhiên" mà chúng ta mong đợi trong một thế giới linh hoạt giá năng suất đăng nhập đã cho . Theo nghĩa này, mô hình có thể điều chỉnh các biến động về năng suất; nhưng như đã nêu ở trên, nếu những biến động này quá lớn, thì quá trình tuyến tính hóa log xung quanh tăng trưởng xu hướng bằng không bắt đầu bị phá vỡ và nếu$Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$ một t σ ≠ $y_t^n$$a_t$$\sigma\neq 1$ chúng ta phải viết lại NKPC dưới một hình thức khác để giải thích cho việc này.
• Cuối cùng, tôi hơi bối rối bởi đoạn cuối, nhưng dường như bạn ngụ ý rằng mô hình có thể có tốc độ tăng trưởng dương, "vì lãi suất thực thường là tích cực cho nền kinh tế". Đây là một hiểu lầm: lãi suất thực trạng ổn định trong mô hình này là tích cực vì các đại lý trong mô hình có ưu tiên thời gian thuần túy, với tỷ lệ chiết khấu . Nếu bạn nhìn bên dưới phương trình của Galí (10), bạn sẽ thấy rằng khi không có năng suất thay đổi, lãi suất thực "tự nhiên" là , trong đó .r n t = ρ ρ = - log $\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

Bài viết sau đây giải thích một cách dễ dàng hơn những gì chính xác đang xảy ra khi chúng ta đăng nhập tuyến tính hóa một mô hình.

http: // ec economtheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

Đi qua ví dụ được cung cấp sẽ làm rõ các bước đơn là gì.

Tiết lộ đầy đủ: Tôi chưa đọc qua các ghi chú bài giảng mà bạn cung cấp đặc biệt cẩn thận, nhưng tôi nghĩ tôi có thể trả lời câu hỏi của bạn.

Chỉnh sửa: Đứng lên, bằng cách không đọc kỹ liên kết được cung cấp bởi câu hỏi, tôi đã bỏ lỡ một cái gì đó.

Các mô hình New Keynesian tiêu chuẩn (như một Gali được trình bày) được mô hình hóa mà không tăng trưởng. Nếu bạn viết mô hình xuống thì bạn có thể biểu diễn nó như một phương trình khác biệt:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

Trong đó chứa tất cả các biến có liên quan và Z t đại diện cho các cú sốc đối với nền kinh tế. "Trạng thái ổn định" thường đề cập đến trạng thái của thế giới trong đó X t là hằng số (nghĩ rằng giải pháp ổn định cho phương trình vi phân / vi phân) và Z t = 0 , do đó bạn có thể viết nó thành giải pháp cho:$X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

trong trường hợp sẽ là giá trị trạng thái ổn định (chú ý không phải là chỉ số thời gian - thời gian cũng được thực hiện bằng cách biểu thị trạng thái ổn định với các thanh trên đầu ˉ X ). Đây là những gì anh ấy đang gọi Y và nó là một giá trị không đổi.$X$$\bar{X}$$Y$

Đối với câu hỏi thứ hai, tôi đã không đọc kỹ, vì vậy tôi không thể chắc chắn 100%, nhưng thông thường khi một biến được viết như nó tham chiếu giá trị thực tế được thực hiện (aka nếu bạn giải quyết được mô hình và mô phỏng nó chính xác, đây là giá trị nó sẽ có).$X_t$

$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• Ghi nhật ký
• Mở rộng Taylor đầu tiên
• Đại số học

Trước tiên chúng tôi lấy nhật ký,

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

Nếu chúng ta thực hiện mở rộng Taylor theo thứ tự đầu tiên xung quanh trạng thái ổn định, thì chúng ta có thể viết:

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Vì vậy, chúng ta có thể viết:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

Hai điều cuối cùng. Đầu tiên, một sự tinh tế khiến tôi mất cảnh giác ngay lần đầu tiên tôi chuyển đổi giữa độ lệch phần trăm và giá trị thực và bạn có thể muốn nhận ra; các giá trị thường không âm có thể âm bởi vì điều đó chỉ có nghĩa là tỷ lệ phần trăm dưới trạng thái ổn định. Thứ hai, các hình thức chức năng thường làm cho chúng đơn giản hóa khá độc đáo như bạn có thể đã thấy trong các phương trình tuyến tính hóa được trình bày.

$y_t := \log Y_t$

Hy vọng điều này sẽ giúp.