Dự đoán

Mô hình ước tính của tôi là

Tôi được yêu cầu tìm một CI dự đoán với độ tin cậy 95% cho giá trị trung bình của $y_0$ , khi $x_{02}=250$ và $x_{03}=8$ . Chúng tôi cho rằng $s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$ , nơi $x_0=(250,8)$ .

Tôi có một giải pháp từ một năm trước, như thế này:

Tôi tìm CI có dạng $\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$ , trong đó $t$ là lượng tử phân phối cao hơn $\alpha/2$ của phân phối $t(n-k)$ và $s_E=\sqrt{0.000243952}$ . Điều này mang lại cho tôi$[7.1563,7.2175]$.

Sau đó, tác giả thực hiện $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$ .

Tôi không đồng ý với bước cuối cùng này (bởi sự bất bình đẳng của Jensen chúng ta sẽ đánh giá thấp). Trong phần Giới thiệu về Kinh tế lượng của Wooldridge, ở trang 212, ông nói rằng nếu chúng tôi chắc chắn các điều khoản lỗi là bình thường, thì một công cụ ước tính nhất quán là:

Vì vậy, tôi đã nghĩ đến việc làm

Điều này có đúng không?

Ngoài ra, giải pháp cho bài tập này nói rằng , khác xa với bất kỳ giải pháp nào tôi có.$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

PS: Tôi cũng đã đọc thấy đợt điều chỉnh không nên được sử dụng để các CI nhưng chỉ dành cho các ước lượng điểm E [ y 0 | x 0 ]$\hat E[y_0|x_0]$

Bạn không tìm thấy câu trả lời tương tự vì những gì tôi nghi ngờ là lỗi đánh máy, do đó sẽ là lý do chính cho vấn đề của bạn: sẽ được đặt thành 80 , không phải 8 . Một khả năng khác, nếu bạn giữ x 03 = 8 , là một lỗi trong hệ số ước thứ hai, nói rằng, beta 2 = - 0,1 thay vì - 0.01 .$x_{03}$$80$$8$$x_{03}=8$$\hat{\beta}_2 = -0.1$$-0.01$

Dù sao, một trong những sửa đổi này giải quyết mọi thứ và mang lại kết quả tương tự như giải pháp cho bài tập này.

Xem xét sự thay đổi này, với , người ta nhận được$t_{\alpha/2}=1.96476138969835$

Phương pháp 1

(giải pháp đã cho cho bài tập này)$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$

hoặc là

Cách 2

Tuy nhiên

các phương pháp 2 là rất khó xảy ra là đúng, vì như bạn đề cập trong câu hỏi của bạn [...] sự (đánh giá thấp) chỉnh nên không được sử dụng để các CI nhưng chỉ dành cho các ước lượng điểm.

Tại sao ? Tôi có thể nói vì sự phụ thuộc betweeen hai thuật ngữ, biết sự mong đợi của trên một mặt và ^ y 0 mặt khác không có nghĩa là ai biết một trong những e s $e^{s^2/2}$$\hat{y_0}$ .$e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$

Dự đoán điểm và CI là khác nhau.

Đối với dự đoán điểm, chúng tôi tốt hơn bằng cách sửa sai lệch càng nhiều càng tốt. Đối với CI, điều bắt buộc ngay từ đầu là xác suất bằng . Ví dụ, khi [ a , b ] là 95% CI cho ln ( y 0 ) , [ e a , e b ] chắc chắn là 95% CI cho y 0 vì P ( a ≤ ln X ≤ b ) = P $100(1-\alpha)\%$$[a,b]$$\ln(y_0)$$[e^a,e^b]$$y_0$ . Vì vậy, [ e 7.1563 , e 7.2175 ] của bạn chắc chắn là một CI hợp lệ.$P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$$[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$

Nhưng trung tâm của CI này không phải là yếu tố dự đoán ngây thơ (exp [dự đoán của ]) cũng không phải là yếu tố dự đoán chính xác của y 0 (hệ số hiệu chỉnh nhân với dự đoán ngây thơ) do bất bình đẳng của Jensen, nhưng nó không thực sự quan trọng. Trong một số trường hợp (không phải luôn luôn), bạn có thể thay đổi CI thành [ e a - p , e b - q ] cho một số p và q để xác suất vẫn là 95% và trung tâm của nó là yếu tố dự đoán điều chỉnh sai lệch , nhưng tôi không thấy điểm nào trong đó.$\ln y_0$$y_0$$[e^{a-p}, e^{b-q}]$$p$$q$

Những gì bạn đề nghị, tức là, không phải là một CI 95%. Để xem lý do tại sao, để cho các yếu tố điều chỉnh được h (không ngẫu nhiên và hoàn hảo được biết đến, vì đơn giản), do đó dự báo thiên vị-chỉnh là h e θ , nơi θ là yếu tố dự báo không thiên vị của ln y 0 ( β 0 + β 2 ln x 2 + β 3 $[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$$h$$he^{\theta}$$\theta$$\ln y_0$ trong ví dụ của bạn). Này " h " có thể được ước tính bằng e s 2 / 2 ví dụ, nhưng trong khi sau này là ngẫu nhiên, h được giả định không ngẫu nhiên để làm cho nó đơn giản. Đặt [ a , b ] là 95% CI cho ln y 0 , tức là P ( a ≤ ln y 0 ≤ b ) = 0,95 . Khi đó, P ( h e a ≤ y 0 ≤ h e b$\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$$h$$e^{s^2/2}$$h$$[a,b]$$\ln y_0$$P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$ đượckhôngbằng để P ( một ≤ ln y 0 ≤ b ) = 0,95 trừ sự phân bố của ln y 0 là thống nhất, mà thường là không.

BIÊN TẬP

Trên đây là về CI của , không phải của E ( y | X = x 0 ) . Câu hỏi ban đầu là về CI cho E ( y | X = x 0 ) . Hãy để E ( y | X = x 0 ) = h exp ( x 0 β ) , được ước tính bằng h exp ( x 0 β$y_0$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$$\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$. Trong trường hợp đó, tôi nghĩ phương pháp Delta là một lựa chọn hữu ích (xem câu trả lời của luchonacho).

Để trở thành nghiêm ngặt, chúng ta cần phân phối chung của h và β , hay nói chính xác, sự phân bố tiệm cận của vector √$\hat{h}$$\hat\beta$. Khi đó phân phối giới hạn của$\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$có nguồn gốc sử dụng phương pháp Delta và sau đó CI chohexp(x0β)có thể được xây dựng.$\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$$h\exp(x_0\beta)$

Sử dụng Phương pháp Delta . Giả sử các mẫu lớn phân phối tiệm cận của một tham số duy nhất là:$\beta$

(giả sử ước tính của bạn là phù hợp)

Hơn nữa, bạn đang quan tâm đến một chức năng của β , nói, F ( β ) . Sau đó, một xấp xỉ thứ tự Taylor gần đúng của các điều trên dẫn đến phân phối tiệm cận sau:$\hat{\beta}$$F(\hat{\beta})$

Trong trường hợp của bạn, là e β . Từ đây, bạn có thể xây dựng CI như bình thường.$F(\hat{\beta})$$e^\hat{\beta}$

Nguồn và chi tiết hơn trong tài liệu được liên kết.