Câu trả lời:
(Tôi nghi ngờ rằng $ E_t [x_ {t + 1}] = E (x_ {t + 1} \ mid I_t) $, trong đó $ I_t $ là Tập thông tin, tức là $ E_t [x_ {t + 1}] $ được dịch là "giá trị mong đợi của biến ngẫu nhiên $ x_ {t + 1} $ có điều kiện về Thông tin có sẵn tại thời điểm $ t $").
Câu trả lời @FooBar đã triển khai "thuật toán giải pháp chuẩn", đưa ra một giải pháp không đổi và nhận xét rằng một giải pháp như vậy vi phạm điều kiện giới hạn.
Nói một cách chính xác, một giải pháp không đổi cũng sẽ thỏa mãn giải pháp giới hạn, nếu nó bằng 0 (trong trường hợp của chúng tôi ngụ ý $ k = 0 $): Nếu thực sự chúng tôi đã có giải pháp
$$ x_t = \ frac k {1- \ beta} $$ sau đó
$$ \ lim_ {t \ to \ infty} x_t = \ lim_ {t \ to \ infty} \ frac k {1- \ beta} = \ frac k {1- \ beta} \ neq 0 $$
ngoại trừ nếu $ k = 0 $. Nhưng điều này là tầm thường (hoặc ít nhất, không thú vị).
Vì vậy tôi hỏi, nếu $ k \ neq 0 $, cần những gì để có được giải pháp ? Quy luật tiến hóa cũng phải giữ ở giới hạn như vậy
$$ \ lim_ {t \ to \ infty} x_t = \ lim_ {t \ to \ infty} \ Lớn [\ beta E_t [x_ {t + 1}] + k \ Big] = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ lim_ {t \ to \ infty} E_t [x_ {t + 1}] = - \ frac k {\ beta} \ tag {1} $$
Nói cách khác, khi biến ngẫu nhiên có xu hướng bằng 0, giá trị dự kiến của nó có điều kiện dựa trên thông tin có sẵn trong giai đoạn trước, phải bằng một giá trị khác không không thay đổi , trong khi chính biến có xu hướng bằng không. Xem xét một số trường hợp, để xem liệu và khi nào điều đó có thể xảy ra:
A) Nếu $ x_t $ là hoàn toàn không quan sát được , (không được quan sát trực tiếp và không tuân theo ước lượng gián tiếp mặc dù các biến khác)? Trong trường hợp như vậy, tập thông tin sẽ không chứa bất kỳ thông tin nào trên $ x_t $, có nghĩa là giá trị mong đợi có điều kiện sẽ bằng với điều kiện vô điều kiện. Vì vậy, chúng tôi sẽ có,
$$ \ lim_ {t \ to \ infty} E_t [x_ {t + 1}] = \ lim_ {t \ to \ infty} E [x_ {t + 1}] \ tag {2} $$
Đây là kinh tế, có nghĩa là các thuộc tính của các thực thể toán học nên tính đến những gì chúng đại diện trong thế giới thực. Vì vậy, nó sẽ là vô nghĩa không phải giả sử $ x_ {t + 1} $ là không phải bị giới hạn (hơn nữa, điều này có nghĩa là biến ngẫu nhiên $ x $ sẽ biến thành vô hạn trong thời gian hữu hạn và sau đó "quay trở lại" có xu hướng về 0 trong thời gian vô hạn - và đối với những người có thể nghĩ "siêu lạm phát", siêu lạm phát là một rất rất số lượng nhỏ so với vô cùng). Nếu nó bị ràng buộc thì định lý hội tụ thống trị / giới hạn giữ và chúng ta có điều đó
$$ \ lim_ {t \ to \ infty} E \ left (x_ {t + 1} \ right) = E \ left (\ lim_ {t \ to \ infty} x_ {t + 1} \ right) = 0 \ neq - \ frac k {\ beta} \ tag {3} $$
Vì vậy, đây không phải là trường hợp chúng ta có thể có được mối quan hệ bắt buộc $ (1) $.
B) Điều kiện giới hạn là một phần của bộ thông tin cho hữu hạn $ t $. Sau đó ngay lập tức
$$ E \ left (\ lim_ {t \ to \ infty} x_ {t + 1} \ mid I_t \ right) = 0 $$
Nói cách khác, tại bất kỳ thời điểm nào chúng ta cũng biết rằng biến số sẽ có xu hướng về không. Điều này có thể tương thích với mối quan hệ $ (1) $ không? Chúng ta có thể gọi lại giới hạn của $ x_t $ và khái quát hóa Định lý hội tụ thống trị, vì ở đây, phép đo (xác suất có điều kiện) cũng thay đổi theo thời gian và một lần nữa đạt được kỳ vọng bằng không ở giới hạn. Nhưng theo trực giác cũng vậy, nếu chúng ta biết rằng cuối cùng biến số sẽ có xu hướng bằng không, tại một số thời điểm, điều này phải được phản ánh bằng $ E_t $, chắc chắn là ở giới hạn. Nhưng một lần nữa, mối quan hệ bắt buộc $ (1) $ sẽ không được giữ.
C) Chúng tôi quan sát hoàn hảo hoặc không hoàn hảo giá trị của biến, nhưng "chúng tôi không đưa ra thông báo chính xác": Kỳ vọng của chúng tôi là không phải Hợp lý. Trong trường hợp đó, ký hiệu $ E_t $ không còn đại diện cho toán tử kỳ vọng có điều kiện , nhưng nó chỉ là một biểu tượng chung cho "dự đoán tại thời điểm $ t $" (trong tài liệu Học tập Thích ứng, điều này thường được ký hiệu bằng $ E ^ * _ t $) và nó có được giá trị cần thiết cho điều kiện giới hạn để giữ . Nói cách khác, được quy luật tiến hóa và điều kiện hạn chế, chúng tôi kết luận rằng các kỳ vọng không được tuân theo Giả thuyết Kỳ vọng Hợp lý, thậm chí không ở giới hạn .
Trong trường hợp như vậy, một giải pháp là rõ ràng: định nghĩa $$ E ^ * _ t (x_ {t + 1}) = - \ frac {(1-c \ beta ^ t) k} {\ beta} $$
đối với một số hằng số $ c $, quy tắc hình thành kỳ vọng này thỏa mãn $ (1) $ và biến đổi quy luật chuyển động thành
$$ x_
mà lần lượt thỏa mãn điều kiện giới hạn.
Vì vậy, chúng tôi kết luận rằng: phương trình cụ thể, với điều kiện giới hạn cụ thể, có một giải pháp nếu sự hình thành kỳ vọng không tuân theo Giả thuyết Kỳ vọng Hợp lý, mà thay vào đó tuân theo quy tắc trên, hoặc một số khác có cùng tác dụng giới hạn.
Như FooBar nói, bạn có thể bỏ kỳ vọng. Sau đó rút ra trường hợp $ n $ -th chung cho $ x_ {t} $ về $ x_ {t + n} $
$$ x_ {t} = \ beta ^ {n} x_ {t + n} + k \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ beta ^ {i}. $$
Như $ n \ rightarrow \ infty $, $ \ beta ^ {n} \ rightarrow 0 $ và (chúng tôi được cho biết) $ x_ {t + n} \ rightarrow 0 $.
Vì vậy, sử dụng $$ x_ {t} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left [\ beta ^ {n} x_ {t + n} + k \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ beta ^ {i} \ right] = \ frac {k} {1- \ beta}, $$ trong đó chúng tôi đã sử dụng thực tế là tổng hình học hội tụ vì $ 0 & lt; \ beta & lt; 1 $, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ beta ^ {i} = \ frac {1} {1- \ beta}. $$
Vì không có gì ngẫu nhiên ở phía bên tay phải, chúng tôi biết rằng phía bên trái phải là không ngẫu nhiên. Do đó, chúng ta có thể bỏ toán tử kỳ vọng
$$ x_t = \ beta x_ {t + 1} + k $$ $$ x_ {t + 1} = \ beta x_ {t + 2} + k $$ $$ x_t = \ beta (\ beta x_ {t + 2} + k) + k $$ $$ x_t = k + \ beta k + \ beta \ beta x_ {t + 2} $$
Bây giờ chúng ta có thể thấy phương trình này dẫn tới đâu:
$$ x_t = k \ sum_ {s = 0} ^ \ infty \ beta ^ s + \ lim_ {T \ to \ infty} \ beta ^ Tx_T $$
trong đó tôi đã sử dụng thuật ngữ giới hạn với $ T \ đến \ infty $ sẽ hội tụ về không.
$$ x_t = \ frac {1} {1- \ beta} k $$
Mang lại hằng số $ x $. Tuy nhiên, điều này vi phạm $ lim_ {t \ to \ infty} x_t = 0 $, vì $ x_t $ là một hằng số. Để kết luận, phương trình đã cho không có lời giải.