Đồng nhất của mức độ hai chức năng tiện ích và sở thích Homothetic.

Sự hiểu biết mà tôi không rõ ràng là khi nào các sở thích homothetic đại diện cho một chức năng tiện ích và ngược lại. Giải pháp của tôi cho vấn đề được đăng bên dưới vấn đề:

Sở thích của người tiêu dùng được mô tả bởi một hàm tiện ích đồng nhất độ hai: Với tất cả $ \ alpha & gt; 0 $ và $ x \ trong R ^ {L} _ {+} $,

$ u (\ alpha x) = \ alpha ^ 2 u (x) $

Vấn đề mà tôi không hiểu rõ là: Q) "Có phải sở thích của người tiêu dùng này là homothetic? Hiển thị rằng họ đang hoặc đưa ra một ví dụ mẫu."

Giải pháp của tôi:

Theo Mas Colell và cộng sự. "Lý thuyết kinh tế vi mô" (chương 3, trang 50)

Do đó, tùy chọn của người tiêu dùng này không tương đồng vì nó không tạo ra chức năng tiện ích đồng nhất ở mức 1 (HOD (1)). Một ví dụ ngược lại sẽ là một hàm tiện ích là HOD (1) giống như Hàm tiện ích Cobb Douglas

$ U (x_1, x_2) = x_ {1} ^ {\ alpha} x_ {2} ^ {1- \ alpha} $

Để kết luận, sở thích của người tiêu dùng này không tương đồng vì nó đại diện cho chức năng tiện ích của HOD (2). Trong khi, theo Mas Colell et al. ưu tiên $ \ pmb {\ succsim} $ là homothetic $ \ textbf {khi và chỉ khi} $ nó thừa nhận một hàm tiện ích là HOD (1).

Bạn có thể vui lòng giúp tôi hiểu tôi đang sai ở đâu với những gì Mas-Colell đã đề cập ở trên "điều kiện cần và đủ" và cách một hàm tiện ích HOD (2) ngụ ý rằng $ \ pmb {\ succsim} $ là tương đồng.

Cảm ơn.

Trước hết, để cung cấp một ví dụ mẫu, bạn cần xây dựng một hàm tiện ích đồng nhất với mức độ hai, nhưng không phải là homothetic. Do đó, ví dụ mẫu bạn đưa ra trong giải pháp của bạn không hoạt động.

Để chứng minh trực tiếp tuyên bố, hãy để $ u (x) $ là một đại diện tiện ích đồng nhất với mức độ hai. Đó là, $ u (\ alpha x) = \ alpha ^ 2 u (x) $. Do đó, nếu $ x \ sim y $, có nghĩa là $ u (x) = u (y) $, chúng ta có $$ u (\ alpha x) = \ alpha ^ 2 u (x) = \ alpha ^ 2 u (y) = u (\ alpha y). $$ Điều này có nghĩa là $ \ alpha x \ sim \ alpha y $ và do đó các tùy chọn là tương đồng.

Chúng ta cũng có thể sử dụng mệnh đề trong MWG: $ \ succeq $ liên tục là homothetic nếu và chỉ khi nó thừa nhận một hàm tiện ích $ u (x) $ đồng nhất mức độ một. Một điều lưu ý là đại diện tiện ích là duy nhất đối với các phép biến đổi đơn điệu, do đó, ngay cả khi một đại diện $ u (x) $ không đồng nhất ở mức độ một, các tùy chọn vẫn có thể trở nên tương đồng nếu một phép biến đổi đơn điệu của biểu diễn, $ \ phi ( u (x)) $, là.

Trong câu hỏi này, nếu chúng tôi xem xét chuyển đổi đơn điệu $ \ hat {u} (x) = (u (x)) ^ \ frac {1} {2} $, thì $ \ hat {u} (x) $ này vẫn đại diện các tùy chọn $ \ succeq $. Thông báo rằng $$ \ hat {u} (\ alpha x) = (u (\ alpha x)) ^ \ frac {1} {2} = (\ alpha ^ 2 u (x)) ^ \ frac {1} {2} = \ alpha (u (x)) ^ \ frac {1} {2} = \ alpha \ hat {u} (x), $$ có nghĩa là đại diện mới này là đồng nhất của mức độ một. Do đó, theo các đề xuất ở trên, các ưu tiên là homothetic.

thực tế nếu một hàm tiện ích là HOD (2) thì nó không phải là HOD (1), do đó, bạn có thể kết luận (như trạng thái Mas Colell), rằng nó không biểu thị mối quan hệ ưu tiên đồng âm.

Để làm ví dụ hỗ trợ, hãy xem xét một nền kinh tế chỉ có 1 hàng hóa và người tiêu dùng có sở thích là HOD (2) và có thể được biểu thị bằng hàm produciy $ u (x) = x ^ 2 $.

Dễ dàng thấy rằng $ u (\ cdot) $ là đồng nhất của mức 2 (với $ \ alpha & gt; 0 $): $$ u (\ alpha x) = (\ alpha x) ^ 2 = \ alpha ^ 2x ^ 2 = \ alpha ^ 2 u (x) $$ tuy nhiên bạn cũng biết rằng $ \ forall \ alpha \ neq1 $ bạn có $ \ alpha ^ 2u (x) \ neq \ alpha u (x) $ do đó bạn kết luận rằng $ u (\ cdot) $ không phải là HOD (1). Tại thời điểm này, bạn có thể sử dụng đề xuất của Mas Colell và kết luận rằng loại sở thích này không nhất thiết là đồng âm.

Ý nghĩa của Mas Colell với "cần và đủ" là miễn là $ \ succeq $ là liên tục, đồng âm và hợp lý, bạn luôn có thể hợp lý hóa nó như với hàm tiện ích HOD (1); hơn nữa, miễn là đại diện tiện ích của mối quan hệ sở thích là HOD (1), bạn luôn có thể chứng minh rằng $ U (a) & gt; U (b) \ Rightarrow a \ succeq b $ trong đó $ \ succeq $ là hợp lý, liên tục và đồng âm (cfr. Mas Colell pag.96, tập thể dục 3.C.5).