Khi điều khiển tối ưu thất bại (?)

Để "đặt câu hỏi của tôi", trước tiên tôi phải giải một mô hình. Tôi sẽ bỏ qua một số bước nhưng vẫn không thể tránh khỏi việc đăng bài này rất lâu - đây cũng là một thử nghiệm để xem liệu cộng đồng này có thích loại câu hỏi như vậy không.

Trước khi bắt đầu, tôi làm rõ rằng điều này có thể trông hoàn toàn giống như một mô hình tăng trưởng tân cổ điển tiêu chuẩn trong thời gian liên tục, nhưng không phải : Nó liên quan đến một cá nhân duy nhất, không "đại diện" cho bất kỳ ai khác trong nền kinh tế xung quanh anh ta, một nền kinh tế mà không được mô hình hóa. Khung ở đây là "ứng dụng Điều khiển tối ưu cho vấn đề tối đa hóa của một cá nhân". Đây là về khung phương pháp và phương pháp điều khiển tối ưu.

Chúng tôi giải quyết vấn đề tối đa hóa tiện ích liên ngành của một doanh nhân nhỏ sở hữu vốn trong công ty của mình, trong khi anh ta mua dịch vụ lao động trong một thị trường lao động cạnh tranh hoàn hảo, và anh ta bán sản phẩm của mình (bánh rán tươi) trong một thị trường hàng hóa cạnh tranh hoàn hảo. Chúng tôi thiết lập mô hình trong thời gian liên tục mà không có sự không chắc chắn (điều kiện kinh tế xã hội ổn định) và với chân trời vô hạn (doanh nhân hình dung nhiều bản sao trong tương lai của anh ta):

max_{c, ℓ, k} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t s.t. \dot{k} = f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) k (t) = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

Trong đó là mức tiêu thụ của doanh nhân, là tiện ích tức thời từ tiêu dùng, là tỷ lệ ưu tiên thời gian thuần túy, là vốn của công ty, là tỷ lệ khấu hao vốn và là chức năng sản xuất của doanh nghiệp. Mức vốn ban đầu được đưa ra, . Nghề nghiệp riêng của doanh nhân với việc kinh doanh được thu vào vốn. Hàm sản xuất là tân cổ điển tiêu chuẩn (lợi nhuận không đổi theo tỷ lệ, sản phẩm cận biên dương, hạt thứ hai âm, điều kiện Inada). Các ràng buộc là quy luật chuyển động của vốn và điều kiện Chuyển đổi bằng cách sử dụng hệ số nhân giá trị hiện tại. $c$ $\ln c$ $\rho>0$ $k$ $\delta$ $f(k,\ell)$ $k_0$

Thiết lập giá trị hiện tại Hamilton

\hat{H} = \ln c + λ [f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

chúng tôi tính toán các điều kiện đặt hàng đầu tiên

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial k} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [f_{k} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

và kết hợp chúng, chúng ta có được quy luật tiến hóa tiêu dùng của doanh nhân,

\begin{matrix} (1) & \dot{c} = (f_{k} - δ - ρ) c \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

Từ quy tắc tối ưu cho nhu cầu lao động (tĩnh) và hằng số trả về hàm ý tỷ lệ ( ), chúng ta thu được . Đưa điều này vào quy luật chuyển động của vốn chúng ta có được $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} (2) & \dot{k} = f_{k} k - δ k - c \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

Phương trình và tạo thành một hệ phương trình vi phân. Các giá trị trạng thái ổn định cho tiêu dùng và vốn của doanh nhân là $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & c^{*} = f_{k}^{*} k^{*} - δ k^{*}, k^{*} : f_{k}^{*} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} (3a) & \Rightarrow c^{*} = ρ k^{*} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

... đó là một biểu hiện khá quen thuộc.

$k^*$ đôi khi được gọi là mức vốn "quy tắc vàng được sửa đổi". Jacobian của hệ thống được đánh giá ở các giá trị trạng thái ổn định có một yếu tố quyết định âm đối với bất kỳ giá trị nào của các tham số mô hình , đây là điều kiện cần và đủ để hệ thống thể hiện sự ổn định đường yên.

Tối đa của locus là tại điểm, (đôi khi được gọi là mức vốn "quy tắc vàng") $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} (4) & \tilde{k} : f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} + f_{k} (\tilde{k}) - δ = 0 \Rightarrow f_{k} (\tilde{k}) = δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

Các giá trị là quan trọng như một chuẩn mực: nó là mức vốn ở đâu và là một tối đa (không tối ưu hoặc trạng thái ổn định ). $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$

Các locus đi qua trục ngang của sơ đồ giai đoạn (rằng các biện pháp vốn) tại trạng thái ổn định mức vốn . $\dot c=0$ $k^*$

Nếu , yêu cầu do các phần thứ hai âm, chúng ta sẽ có "tích lũy vốn quá mức" (quá nhiều bánh rán): doanh nhân có thể tận hưởng ổn định hơn- tiêu dùng nhà nước với mức vốn thấp hơn. Sử dụng và chúng ta có $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

f_{k}^{*} < f_{k} (\tilde{k}) \Rightarrow δ + ρ < δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} (5) & \Rightarrow ρ < - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

Bất bình đẳng là điều kiện để mức vốn ổn định dưới mức tối ưu. Và điều này là, chúng ta không thể loại trừ nó . Nó chỉ đơn giản yêu cầu doanh nhân "đủ kiên nhẫn", với tỷ lệ ưu tiên thời gian thuần túy đủ nhỏ, nhưng vẫn tích cực. $(5)$

Ở đây bắt đầu vấn đề: tích lũy quá mức vốn được loại trừ một cách hiệu quả trong mô hình đại lý. Có thể trong các mô hình thế hệ chồng chéo, nhưng do hậu quả không lường trước ở cấp độ kinh tế vĩ mô, một trong những ví dụ sớm nhất cho thấy nền kinh tế vĩ mô có thể được thành lập vi mô và vẫn hành xử khác với thế giới vi mô.

Nhưng mô hình của chúng tôi rơi vào không phải thể loại: nó là một mô hình cân bằng từng phần của một đơn chất trong một môi trường không đồng nhất ngầm -Và cân bằng tổng thể ở đây sẽ không làm thay đổi kết quả: người này chỉ mình đại diện. Vì vậy, vấn đề là nếu nắm giữ, thì giải pháp Điều khiển tối ưu rõ ràng sẽ không tối ưu , bởi vì ở đây chúng ta có một người, một ý chí duy nhất, một tâm trí duy nhất: bằng cách nhìn vào giải pháp mà doanh nhân của chúng ta sẽ nói, " này, phương pháp này là vô giá trị, nếu tôi làm theo lời khuyên của nó, tôi sẽ kết thúc với mức vốn cao tối ưu ". $(5)$

Và tôi không hài lòng khi chỉ đơn giản nói "tốt, Điều khiển tối ưu không phù hợp với vấn đề này, hãy thử phương pháp khác", vì tôi không thể thấy lý do tại sao chúng ta nên xem xét nó không phù hợp. Nhưng nếu nó là phù hợp, sau đó phương pháp này nên báo hiệu một cái gì đó là sai, nó nên tại một số điểm yêu cầu đó không không giữ, để có thể cung cấp một giải pháp (nếu nó xảy ra như vậy đó không giữ, mọi thứ có vẻ sưng lên). $(5)$ $(5)$

Người ta có thể tự hỏi "có thể điều kiện Transversality bị vi phạm nếu giữ?" -Nhưng nó không giống như vậy, vì , đi đến một hằng số dương, trong khi đi đến không, chỉ yêu cầu . $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

Những câu hỏi của tôi:

1) Ai đó có thể cung cấp một số cái nhìn sâu sắc ở đây?

2) Tôi sẽ biết ơn nếu ai đó giải quyết điều này bằng Lập trình động và báo cáo kết quả.

ĐỊA CHỈ
Từ quan điểm toán học, sự khác biệt quan trọng của mô hình này là quy luật tối ưu hóa chuyển động của vốn, eq. không bao gồm toàn bộ đầu ra như trong mô hình tiêu chuẩn, mà chỉ bao gồm lợi nhuận cho vốn . Và điều này xảy ra bởi vì chúng tôi đã phân tách quyền sở hữu đối với đầu ra, trong khuôn khổ "vấn đề tối đa hóa kinh doanh cá nhân", sẽ được dự kiến. $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Tôi không chắc ý của bạn là gì khi bạn nói "tối đa của kdot = 0 locus". Tối đa đối với những gì? Ngoài ra, khi bạn tính toán (4), bạn không nên hoàn toàn khác biệt (2) - tức là bạn cũng không nên tính toán thay đổi trong c cần thiết để đảm bảo kdot = 0 vẫn hài lòng sau khi bạn thay đổi k?

— Ubiquitous

@Ubiquitious Tối đa liên quan đến vốn. Đây chính xác là cách vẽ sơ đồ pha, nhưng tôi cũng không thể bao gồm các tính toán này ở đây. Đối với câu hỏi thứ hai: xuất phát từ cài đặt in và biểu thị mức tiêu thụ dưới dạng hàm của vốn, ( không được đánh giá ở giá trị trạng thái ổn định). Để có được hình dạng của quỹ tích này, chúng tôi phân biệt nó với vốn.

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— Alecos Papadopoulos

Tôi chưa kiểm tra toàn bộ, nhưng một vấn đề tôi thấy là điều kiện tối ưu hóa lao động sẽ (theo CRS) sẽ xác định tỷ lệ vốn / lao động, từ đó xác định sản phẩm cận biên của vốn, do đó sẽ không đổi theo con đường tối ưu. Mô hình sau đó tương đương với vấn đề tiết kiệm tiêu dùng tiêu chuẩn với lãi suất ngoại sinh, vì vậy nếu MPK - delta> rho, mức tiêu thụ của đại lý sẽ tăng với tốc độ không đổi (nghĩa là không có trạng thái ổn định).

— ivansml

@ivansml. Cảm ơn đã đóng góp. Nhưng giải pháp không nói rằng . Trạng thái ổn định là tại điểm mà , eq. . Vấn đề là mức vốn này ở trạng thái ổn định tương ứng, và liệu nó sẽ ở trên hay dưới mức "quy tắc vàng" .

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— Alecos Papadopoulos

Chỉ bây giờ tôi nhận thấy câu hỏi này khá cũ ... hy vọng điều đó không quan trọng. Quay lại chủ đề - phải được xác định bởi FOC lao động. Trạng thái ổn định sẽ chỉ tồn tại nếu giá trị này của cũng bằng , tức là bằng sự trùng hợp (hoặc một số xem xét cân bằng chung). Nếu nó cao hơn, đại lý sẽ tích lũy vốn vô thời hạn và mức tiêu thụ của anh ta tăng lên, nếu nó thấp hơn, anh ta sẽ giảm vốn và tiêu dùng của anh ta giảm. Đó thực sự là tất cả do giả định CRS - hàm "doanh thu" là tuyến tính trong một khi công ty tối ưu hóa lao động, do đó tăng trưởng ổn định là có thể.

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$

— ivansml

Câu trả lời:

Tôi tin rằng vấn đề là trạng thái ổn định có thể không tồn tại và thay vào đó hệ thống thể hiện sự tăng trưởng ổn định (tùy thuộc vào các tham số).

Lý do là bởi vì mô hình tương đương với vấn đề tiết kiệm tiêu dùng tiêu chuẩn với lãi suất ngoại sinh và không đổi. Để thấy điều đó, trước tiên hãy xem xét điều kiện đặt hàng đầu tiên cho lựa chọn lao động (ở đây, là đạo hàm riêng của đối số wrt. Đối số thứ ). Sử dụng định nghĩa về lợi nhuận không đổi, sản phẩm cận biên của lao động là chỉ là một hàm của tỷ lệ vốn-lao động. Nếu tiền lương không đổi, lao động FOC xác định duy nhất tối ưu $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$

\frac{\partial}{\partial ℓ} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1) \frac{- k}{ℓ} + f (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$ tỷ lệ như là một hàm của tiền lương và các tham số khác. Vì sản phẩm cận biên của vốn cũng phụ thuộc vào , nó sẽ không đổi dọc theo đường dẫn tối ưu. Biểu thị giá trị này của sản phẩm cận biên và biểu thị mạng lợi nhuận của khấu hao . Phương trình (1) - (2) cho động lực vốn và tiêu dùng sau đó là và giải pháp cụ thể thỏa mãn điều kiện chuyển đổi nên là

w

$w$

\frac{\partial}{\partial k} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial k} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

\begin{aligned} {\dot{c}}_{t} & = (r - ρ) c_{t} \\ {\dot{k}}_{t} & = r k_{t} - c_{t} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$ với được đưa ra, tức là một phần tài sản không đổi được tiêu thụ tại mỗi thời điểm. Cả vốn và tiêu dùng đều tăng trưởng theo tỷ lệ , do đó không có trạng thái ổn định trừ khi lợi nhuận trên vốn (ở đây phụ thuộc vào mức lương ngoại sinh ) bằng tỷ lệ ưu tiên thời gian.

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— ngà voi
nguồn

(+1) Cảm ơn bạn. Tôi đang đưa ra điều này bây giờ vào một câu trả lời của tôi.

— Alecos Papadopoulos

câu trả lời chính xác. về cơ bản, một khi lao động được chọn một cách tối ưu, hàm lợi nhuận sẽ trở thành tuyến tính vốn - để mô hình này sôi sục theo mô hình AK, có các đặc tính (bao gồm cả tăng trưởng trạng thái ổn định) được hiểu rõ.

— trên danh nghĩa cứng nhắc

@nominallyrigid Nhưng chỉ khi chúng tôi cho rằng tiền lương không đổi . Hãy nhớ rằng đây không phải là trạng thái cân bằng chung, chỉ là một cá thể nhỏ bé bơi trong đại dương của nền kinh tế.

— Alecos Papadopoulos

Tôi đang đăng bài này dưới dạng câu trả lời, bởi vì nó tiếp tục trên câu trả lời của người dùng @ivansml ... đó là câu trả lời xác định bắt ở đây, một cách bắt mà tôi ngây thơ đã bỏ qua (mặc dù đó là một trường hợp hẹp, trong khi mệnh giá thú vị xuất hiện sau đó. Tuy nhiên, nó đã được xử lý).

Thật vậy, với mức lương ngoại sinh và tối ưu hóa cạnh tranh hoàn hảo về nhu cầu lao động, sản phẩm cận biên của vốn chỉ được xác định bởi các thông số của mô hình và bởi mức lương. Đối với trường hợp đơn giản, chúng tôi giả định rằng mức lương không đổi, phân tích của @ivansml: mô hình trở thành một trong những tăng trưởng nội sinh : sản phẩm cận biên của vốn là không đổi, đó là điều cần thiết cho tăng trưởng nội sinh, nơi không có sự ổn định nhà nước ở các cấp .

Biểu thị và , phương trình và của OP có thể được viết $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (1b) & \hat{c} = f_{k} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} (2b) & \hat{k} = f_{k} - δ - c / k \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

Vì là hằng số, tốc độ tăng trưởng của tiêu dùng là không đổi - bằng không, dương hoặc âm, tùy thuộc vào các tham số và mức lương. Mặt khác, phân biệt đối với thời gian chúng ta nhận được $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{k}} = (\hat{k} - \hat{c}) \cdot (c / k)

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

và rõ ràng là để tăng trưởng ở trạng thái ổn định, chúng tôi muốn , trong đó, từ chỉ thu được nếu . Thật dễ dàng để xác minh rằng, vì , cách duy nhất mà điều kiện chuyển đổi sẽ giữ, là nếu tiêu dùng và vốn tăng, hoặc co lại, với cùng tốc độ (hoặc không đổi). $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

Trong các mô hình tăng trưởng nội sinh thích hợp khi chúng ta kiểm tra toàn bộ nền kinh tế, chúng ta chỉ giả sử rằng các tham số của mô hình là có tốc độ tăng trưởng dương, bởi vì đây là những gì chúng ta quan sát được trong thế giới thực. Nhưng ở đây, chúng tôi chỉ có một cá nhân. Vì vậy, những gì chúng ta có thể nói với doanh nhân của chúng tôi?

Nếu , tốc độ tăng trưởng là dương và cả mức tiêu thụ và vốn của anh ta sẽ tăng "mãi mãi", duy trì tỷ lệ không đổi. Nếu , tốc độ tăng trưởng bằng không và cả hai biến luôn không đổi. Nếu , tốc độ tăng trưởng là âm và chúng ta nên tham gia vào một vòng xoáy giảm tiêu dùng và vốn (luôn duy trì mối quan hệ ). $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

Điều này, có một số trực giác, xác nhận tính phù hợp của ứng dụng Kiểm soát tối ưu: với các tham số khác và mức lương, "sự thiếu kiên nhẫn" ( càng lớn ) càng dễ xảy ra khi cá nhân sẽ trải qua mức tiêu thụ giảm dần, vì tương lai, và do đó đầu tư, không nhiều theo ý thích của anh ấy. Tất nhiên, một vòng xoắn xuống đơn điệu có thể không thực tế như một giải pháp - nhưng đây là một mô hình rất cách điệu, cung cấp các xu hướng cơ bản chung trong một ngôn ngữ toán học rất cần thiết. $\rho$

Phần thực sự thú vị sẽ bắt đầu nếu chúng ta xem xét một mức lương thay đổi . Điều này có thể tạo ra tất cả các loại động lực thú vị và phức tạp cho doanh nhân nhỏ của chúng tôi và các quyết định đầu tư tiêu dùng của anh ấy.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Tôi nghĩ rằng câu hỏi quan trọng là liệu công ty này là công ty duy nhất trong nền kinh tế. Nếu đúng thì nó không còn đúng nữa để lấy như đã cho $w$ $w$ sẽ bị ảnh hưởng bởi quyết định tích lũy vốn của chính nó. Trong trường hợp này, bạn nên thực hiện các thay thế mà bạn đã thực hiện trước phương trình của bạn (2) trong khi thiết lập Hamilton. Mặt khác nếu điều này là một trong nhiều công ty, do đó tỷ lệ tiền lương là ngoại sinh, thì thay thế trước khi eq. (2) không hợp lệ. Tôi nghĩ rằng bạn cần phải phân biệt cẩn thận giữa big- , thủ phủ tổng hợp trong nền kinh tế, và little- thủ đô lựa chọn bởi nhà sản xuất quyết định này. $k$ $k$

— Jyotirmoy Bhattacharya
nguồn

Tôi nghiêm túc nhìn vào một công ty duy nhất còn quá nhỏ để ảnh hưởng đến tổng hợp. Vì vậy, nhận xét thứ hai của bạn có liên quan, trong đó bạn nói "sự thay thế trước các phương trình (2) là không hợp lệ". Tôi không hiểu tại sao. Bạn có thể giải thích (tốt nhất là chính thức) về điều đó không? Cảm ơn bạn.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Tôi nghĩ vấn đề không phải là toán học mà là một cách giải thích. Nếu công ty của tôi quá nhỏ để ảnh hưởng đến nền kinh tế, tại sao lại là trường hợp hoặc cho công ty của tôi bất kể tôi chọn, dường như là giả định ngầm định trong các thay thế bạn thực hiện trước đó (2 ) và sau đó phân biệt RHS của phương trình đối với .

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya

@JyotirmoyBhattacharya đó là kết quả tiêu chuẩn từ giả định thị trường cạnh tranh.

— FooBar

@FooBar Trong một thị trường cạnh tranh, bạn chọn và để tạo và . Các điều kiện không giữ ở và tùy ý .

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya

Ok, tôi sẽ phải viết Hamiltonian sau tất cả, và làm cho nó thậm chí dài hơn.

— Alecos Papadopoulos