Hiểu về việc xây dựng các quy trình ngẫu nhiên

Tôi đã thấy các quy trình ngẫu nhiên được mô hình hóa / xây dựng theo cách sau.

Hãy xem xét không gian xác suất và để là phép biến đổi (có thể đo lường) mà chúng ta sử dụng để mô hình hóa sự tiến hóa của điểm mẫu theo thời gian . Ngoài ra, hãy để là vectơ ngẫu nhiên . Sau đó, quy trình ngẫu nhiên được sử dụng để mô hình hóa một chuỗi các quan sát thông qua công thức hoặc $(\Omega, \mathcal F, Pr)$$\mathbb S$$\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$$\omega$$X$$X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$$\{ X_t: t=0,1,...\}$$X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$$X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Làm cách nào để hiểu các điểm mẫu và phép biến đổi trong công trình này? ( có thể giống như một chuỗi các cú sốc trong một số trường hợp nhất định không?)$\omega \in \Omega$$\mathbb S$$\omega$

Để cụ thể hơn, tôi sẽ viết hai quy trình này trong ký hiệu này như thế nào?

Quá trình 1: trong đó .

Quy trình 2:

Cấu trúc này bạn mô tả không hoàn toàn chung chung. Trong thực tế, nó đặc trưng chuỗi thời gian đứng yên. Bạn thấy rằng đó là sự thay đổi bất biến. Toán tử này thực chất là toán tử dịch chuyển.$S$

Để so sánh, đây là định nghĩa thông thường về, giả sử các quy trình thời gian rời rạc:

Định nghĩa Một quy trình ngẫu nhiên là một chuỗi của các bản đồ có thể đo được Borel trên một không gian xác suất . $\{ X_t \}$$( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Bây giờ đối với những gì bạn đang mô tả, bạn có một bản đồ đo được Borel cố định . Đó là biện pháp cơ bản được phát triển theo . Bản đồ tạo ra một "biện pháp đẩy về phía trước" mới (theo cách nói theo lý thuyết đo lường) trên chỉ bằng cách lấy các tiền đề: xác định một biện pháp bằng$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$$S$$S$$\Omega$$\mu_S$

Vì vậy, vectơ ngẫu nhiên là bằng cách xây dựng. Chúng tạo ra cùng một biện pháp đẩy về phía trước trên . Làm điều này với cho mỗi và bạn có chuỗi thời gian của mình.$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$$X \circ S$$\mathbb{R}^n$$S^t$$t$

Đối với câu hỏi của bạn về , việc kiểm tra bằng chứng cho hướng khác sẽ làm rõ điều này --- tức là bất kỳ chuỗi thời gian đứng yên nào nhất thiết phải có dạng này cho một số , , và .$\omega$$( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$$X$$S$

Điểm cơ bản là, từ quan điểm chung, một quá trình ngẫu nhiên là một thước đo xác suất trên tập hợp các thực hiện có thể có của nó. Điều này được thấy trong, ví dụ, việc xây dựng chuyển động Brown của Wiener; ông đã xây dựng một thước đo xác suất trên . Vì vậy, nói chung, là một đường dẫn mẫu và bao gồm tất cả các đường dẫn mẫu có thể. $C[0, \infty)$$\omega$$\Omega$

Ví dụ, lấy hai quá trình bạn đặt tên ở trên. Họ hoàn toàn đứng yên, nếu giả sử những đổi mới là Gaussian. (Bất kỳ chuỗi thời gian hiệp phương sai-stationary được thúc đẩy bởi những đổi mới Gaussian là đúng cố định.) Việc xây dựng sau đó sẽ bắt đầu bằng cách là tập tất cả các chuỗi, các -algebra tạo ra bởi phối hợp bản đồ, và Các biện pháp thích hợp. Đối với quy trình nhiễu trắng (2), chỉ là thước đo sản phẩm trên một sản phẩm vô hạn.$\Omega$$\mathcal{F}$$\sigma$$Pr$$Pr$

Tham khảo Đặc tính / xây dựng này bằng cách dịch chuyển chuỗi thời gian đứng yên nghiêm ngặt được đề cập trong Lý thuyết tiệm cận của White cho các nhà kinh tế lượng .

Có thể coi các trường hợp là một điểm trong không gian chiều vô hạn, ví dụ chuỗi sốc, nhưng việc giải thích như vậy sẽ không có tác dụng, vì khi đó bạn sẽ không nhận được sự đơn giản hóa khi so sánh với đặc tả trực tiếp của quá trình trên không gian xác suất được lọc và chỉ sản xuất các thực thể bổ sung không mong muốn để làm phức tạp vấn đề.$\omega$

Cách tiếp cận này phù hợp hơn nhiều cho các ứng dụng cho các điểm trong không gian chiều hữu hạn. Sau đó, bằng cách tiếp cận này, bạn sẽ xây dựng quy trình Markov đồng nhất về thời gian và sẽ được hiểu là một điểm trong không gian trạng thái của nó, giả sử, vị trí hiện tại của quy trình hoặc một số vị trí cuối cùng. Việc xem xét giải thích S sẽ được hoãn lại cho đến khi các ví dụ được thảo luận.$\omega$

Do đó, tôi cho rằng là một chuỗi các biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất được xác định trong câu hỏi. Sau đó, quá trình thứ hai có thể được định nghĩa như sau:$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$Chỉ số trên ở đây biểu thị ở đây nhiều ứng dụng của toán tử.

Ví dụ đầu tiên là một chi tiết về cái đầu tiên:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$Chỉ số thấp hơn ở đây biểu thị ở đây thành phần tương ứng của vectơ tương ứng.

Như chúng ta đã thấy, hoạt động S tự nó khá mơ hồ và khó hiểu để giải thích hợp lý. Tuy nhiên, điểm cần lưu ý là nó xác định biện pháp bảo toàn phép biến đổi và lấy một hình ảnh bên dưới nó tạo ra tập hợp có cùng số đo. Vì vậy, chức năng này của động lực đo trên không gian trạng thái của chúng ta trong thời gian.

Anh ta chỉ nghĩ về là một người quyết đoán và là không thể quan sát được. Sau đó, chúng tôi quan sát dưới dạng thông tin không đầy đủ về . và sau đó giúp chúng tôi suy ra phân phối xác suất chung trên .$\mathbb{S}$$\omega$$X(\omega)$$\omega$$\mathbb{S}$$X$$\{X_t\}_{t=0}^\infty$