Độc quyền chỉ là một sự hiểu lầm toán học

Một người gãi đầu nhỏ (và một ví dụ tốt tại sao chúng ta nên cẩn thận với ký hiệu).

Xem xét độc quyền tối đa hóa lợi nhuận, giải quyết được giá

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Thực hiện theo các bước thông thường ( xem bài này )

chúng ta đi đến một kết quả quan trọng rằng, ở mức giá tối đa hóa lợi nhuận, độ co giãn của cầu theo giá phải cao hơn về mặt tuyệt đối hoặc thấp hơn về mặt đại số. Cụ thể là ở mức giá tối đa hóa lợi nhuận mà chúng ta có- $1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Nhưng là đạo hàm của và , Tổng doanh thu. Vì vậy, , Doanh thu cận biên và chúng tôi chỉ thu được rằng với mức giá tối đa hóa lợi nhuận và để có độ co giãn lớn hơn về mặt tuyệt đối, chúng ta phải có .PQ(P)PQ(P)=TR∂$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$$PQ(P)$$PQ(P) = TR$1MR*<$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$$1$$MR^* <0$

Nhưng hiện tại chúng tôi cũng tại điểm tối đa hóa lợi nhuận, chúng tôi có .$MR^*=MC^*>0$

Vì vậy, một giải pháp không tồn tại, và do đó chúng tôi kết luận rằng độc quyền chỉ là một sự hiểu lầm toán học.

Bây giờ, tôi đã gặp rắc rối (?) Để viết bài đăng nhếch mép này, tôi hy vọng ai đó sẽ đi vào vài chục giây cần thiết để viết một câu trả lời rõ ràng để chỉ ra mánh khóe nằm ở đâu.

$PQ(P)=TR$ , Tổng doanh thu.

PQ(P)P$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ là đạo hàm của đối với với .$PQ(P)$ $P$

T R Q$MR$ , Marginal Revenue, là đạo hàm của đối với với .$TR$ $Q$

Vì vậy, nói chung$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Để bổ sung cho câu trả lời chính xác của @AdamBailey, mục đích của bài đăng này là để cảnh báo người đọc quan tâm đến hậu quả của việc thay đổi các biến quyết định trong suy nghĩ của chúng ta.

Chúng tôi đã quen nghĩ về Nhu cầu là "giá tùy theo số lượng" hoặc "số lượng tùy theo giá". Nhưng về phía chi phí sản xuất, chúng tôi tự động có xu hướng nghĩ về chi phí tùy thuộc vào số lượng, không phụ thuộc vào giá bán.

Do đó, thậm chí một chút tẻ nhạt rõ ràng với ký hiệu sẽ được đền đáp (hãy hỏi các chàng trai về tối ưu hóa động, ví dụ như cuốn sách của Caputo ). Trong ví dụ cụ thể, các ký hiệu , , , không tiết lộ biến quyết định và đây là nơi sử dụng cơ sở. Nhưng nếu, chúng tôi đã viếtM R M $TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

chúng tôi rõ ràng sẽ báo hiệu rằng biến quyết định cuối cùng của chúng tôi là giá cả, và vì vậy

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

trong khi đó chúng ta cũng sẽ thấy rõ điều đó

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

và do đó, yêu cầu về độ co giãn của cầu dẫn đến

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(kể từ ). Vì vậy, tại điểm tối ưu, doanh thu cận biên đối với số lượng phải là dương, nhưng doanh thu cận biên đối với giá phải là âm.$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$