Tại sao chức năng sản xuất Cobb-Douglas rất phổ biến?

Là nhà phân tích định lượng tương đối mới / Nhà phân tích chi phí, Ive được yêu cầu ước tính mức độ năng suất của một tổ chức nhất định nhiều lần, và sau đó dự báo cho các giai đoạn tiếp theo. Nơi tôi làm việc là một tổ chức phi lợi nhuận tương đối nhỏ (khoảng 30 người) dành riêng cho phân phối quyên góp ngân hàng thực phẩm và mời chào tình nguyện, vì vậy tôi không chắc liệu quy mô công ty có liên quan gì đến việc này không.

Hầu hết thời gian tôi được yêu cầu cho các đơn vị cụ thể và không thay đổi tỷ lệ phần trăm hoặc độ co giãn, vì vậy tôi buộc phải trình bày một trong hai chức năng sản xuất.

1. $$f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$$
2. $$f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$$

Tuy nhiên, khi tôi đọc tài liệu kinh tế, tôi thấy cobb douecraft (hoặc một số biến thể của nó giống như đá-gerry) được sử dụng mọi lúc.

Tôi biết nó có đặc tính toán học cho thấy lợi nhuận giảm dần theo tỷ lệ cho một yếu tố sản xuất duy nhất, tuy nhiên tôi gặp khó khăn khi nhìn thấy nó trong dòng công việc của tôi. Đây có phải là một chức năng sản xuất dành riêng cho sản xuất hàng thật?

Lý do tại sao các chức năng sản xuất Cobb Douglas rất phổ biến xuất phát từ thực tế là các giả định sau đây được thỏa mãn trong khi vẫn còn nghiêm ngặt về mặt thống kê ¹ :

Nhắc lại mẫu hàm sản xuất Cobb- Douglas:

$$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$$

trong đó (tức là phần đầu ra đi vào vốn)$0<\alpha <1$

$1)$ Sản phẩm cận biên tích cực:

$${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$$

$2)$ Giảm dần các sản phẩm cận biên (như bạn đã đề cập)

$${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$$

$3)$ Constant Returns to Scale (đây là cách mà hầu hết các quy trình sản xuất hoạt động)

$$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$$

cho mọi (Ví dụ: "Double input Double output")$\lambda \ge 0$$\Rightarrow$

Hi vọng điêu nay co ich!!

---

_{¹ Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Doumund_production_f ghép}

Như bạn gợi ý trong câu hỏi của bạn, lý do thực sự tiềm ẩn (theo ý kiến ​​của tôi) đằng sau sự phổ biến của chức năng sản xuất CD là sự tiện lợi về mặt toán học. Thực tế là tổng là một đại diện trực quan, đẹp mắt của "trả về tỷ lệ" rất thuận tiện.$\alpha + \beta$

Tôi nghĩ rằng việc sử dụng nó tương tự như việc sử dụng các tiện ích lũy thừa hoặc năng lượng trong tài chính toán học. Không thực tế? Có lẽ, nhưng oh rất thân thiện để làm việc với.

Được rồi tôi nghĩ rằng tôi đã đưa ra rất nhiều giả định ngầm bởi vì tôi đã bị nhầm lẫn bởi các chức năng của bạn trong câu trả lời cuối cùng, điều này làm cho câu trả lời của tôi rất khó hiểu. Vì vậy, tôi cố gắng để rõ ràng hơn một chút thời gian này. Tôi sẽ chỉ xem xét chức năng đầu tiên của bạn.

Bây giờ nếu đây là một hàm sản xuất, thì là đầu vào và bạn chỉ có một đầu ra. Bây giờ hàm sản xuất của bạn có các thuộc tính sau: và . Điều này ngụ ý rằng đầu vào của bạn hoàn toàn độc lập với nhau. Bạn có thể đạt được cùng một đầu ra chỉ với hoặc chỉ với . Điều này sẽ vô nghĩa nếu đầu vào của bạn là Vốn và Lao động (ít nhất là cho đến khi chúng tôi hoàn toàn tự động hóa sản xuất khi bạn không cần một con người ở bất cứ đâu trong quá trình sản xuất). Bởi vì nếu một trong hai số đó là 0 trong thế giới thực, bạn sẽ không nhận được kết quả đầu ra.$x_i$$\frac{df}{dx_i}=\beta_i$$\frac{df}{dx_jdx_i}=0$$x_1$$x_2$

Việc xem xét này khiến tôi tin rằng các phương thức sản xuất mô hình của bạn , ngụ ý rằng chúng đã chứa hỗn hợp Vốn và Lao động. Trong trường hợp đó, bạn chỉ cần tối ưu hóa các phương thức sản xuất khác nhau này và chọn phương pháp tốt nhất. Người có tỷ lệ trên chi phí cao nhất. Bởi vì ở cấp độ công ty, chi phí cận biên rất có thể sẽ không đổi.$x_1$$\beta_i$

Đây là một mô hình hợp lý, từ góc độ công ty. Bạn chỉ có thể chọn giữa các phương thức sản xuất đó, vì vậy thực tế là bạn đã kết hợp Vốn và Lao động không liên quan đến bạn. Bạn tối ưu hóa chức năng và chọn phương thức sản xuất tốt nhất với chi phí cố định. Đơn giản hóa (giả định) là, bạn không xem xét việc mở rộng hoặc sản xuất thay đổi chi phí cận biên trong một phương thức sản xuất như thế nào.

(Nếu việc mở rộng sẽ ở quy mô kinh tế, thì bạn sẽ tăng lương cho công nhân bằng cách sử dụng nhiều hơn trong số họ, điều này sẽ dẫn đến việc bạn chọn một phương thức sản xuất nặng vốn hơn)

Một nhà kinh tế tiếp cận điều này từ một góc độ khác: Họ quan tâm đến tỷ lệ Vốn / Lao động và không phải là phương pháp sản xuất cụ thể. Họ muốn một chức năng lấy Vốn và Lao động làm đầu vào, chọn phương thức sản xuất tốt nhất cho đầu vào đó và trả về một đầu ra. Giả định của họ là, trên quy mô này có rất nhiều phương thức sản xuất khác nhau, bạn có thể lướt qua chúng và về cơ bản có được một chức năng liên tục trong Vốn và Lao động.

Họ muốn một mô hình có thuộc tính mà hàm Cobb-Douglas cung cấp.$\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

Về cơ bản, bạn đang so sánh mô phỏng hạt với mô phỏng chất lỏng. Các phương trình để mô hình hóa một phân tử nước sẽ khác với mô hình hóa một dòng nước. Và có vẻ như người này không liên quan gì đến người kia.

Khả năng khác tôi nghĩ đến là hàm này thực sự là hàm chi phí tạo ra các kết quả đầu ra nhưng theo định nghĩa, bạn có chi phí biên cố định là . Mà một lần nữa, là một giả định hợp lý để thực hiện ở cấp độ vi mô nhưng không phải ở cấp độ vĩ mô.$(x_1, ...,x_n)$$x_i$

Hàm sản xuất Cobb-Douglas rất phổ biến, chỉ bởi vì đây là một trong số rất ít các hàm mà bạn có thể tính toán rõ ràng các hàm nhu cầu đầu vào (và cung ứng đầu ra). Hàm sản xuất Cobb-Douglas thường được sử dụng ở cấp độ cử nhân (bài giảng, bài kiểm tra và bài tập) vì chúng ta có thể giải quyết hệ thống các điều kiện đặt hàng đầu tiên. Tuy nhiên, hình thức chức năng này rất hạn chế và tính hợp lệ của nó bị từ chối theo kinh nghiệm. Vì vậy, ở cấp độ tổng thể, chúng tôi phục hồi lý thuyết kinh tế vi mô bằng cách sử dụng các hình thức không giới hạn cho hàm sản xuất (xem ví dụ trong sách giáo khoa Mas Colell và cộng sự), và sử dụng định lý hàm ẩn hoặc lý thuyết đối ngẫu để thu được kết quả tĩnh so sánh.