Đồng nhất của mức độ một trong chức năng tiện ích.

Câu hỏi

Giải pháp của tôi là như sau. Vui lòng kiểm tra giải pháp của tôi. Nếu tôi làm sai, xin vui lòng cho biết. Tôi thực sự không chắc chắn về giải pháp của tôi. Cảm ơn bạn

U (x) là đồng nhất của độ một tức là u (tx) = tu (x)

Đầu tiên tôi chỉ ra rằng hàm tiện ích gián tiếp là đồng nhất bậc một tính bằng m.

Bằng cách tối đa hóa tiện ích,

V (p, m) = max u (x) theo px $\le$ m

tv (p, m) = max tu (x) theo px $\le$ m

Vì u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) tuân theo px $\le$ m

Khi đó v (p, tm) = tv (p, m)

Đó là chức năng tiện ích gián tiếp là đồng nhất của mức độ một.

Tôi chỉ ra rằng hàm chi tiêu là đồng nhất của mức một trong u bằng cách sử dụng kết quả trước đó.

tôi biết điều đó

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Vì u (x) là đồng nhất của độ một và v (p, m) là đồng nhất của độ một trong m, v (p, e (p, u)) phải là đồng nhất của độ một trong e (p, u) .

Nói cách khác, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) giữ iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

tức là hàm đắt e (p, u) là đồng nhất bậc một trong u.

Bây giờ tôi sẽ chỉ ra rằng nhu cầu marshallian x (p, m) là đồng nhất của độ một trong m.

Theo danh tính của Roy,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

Theo kết quả đầu tiên, vì v (p, m) là đồng nhất của độ một trong m, nên x (p, m) là đồng nhất của độ một trong m.

bây giờ cho thấy rằng nhu cầu của hicksian là đồng nhất của mức độ một trong u.

tôi biết điều đó

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Vì e (p, u) là đồng nhất của cấp một bởi phần thứ hai,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) phải giữ vì tồn tại đẳng thức (1).

Đó là nhu cầu hicksian là đồng nhất của mức độ một trong u.

— số 9
nguồn

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

Cách bạn chỉ ra rằng là đồng nhất của độ một trong là chính xác, nhưng lý do tại sao điều này ngụ ý rằng, là đồng nhất của độ một trong , không chính xác trong lập luận của bạn . Ví dụ, tính đối ngẫu cho chúng ta biết trong đó chỉ là mức tiện ích đích, nhưng không nên là như trong bằng chứng của bạn. $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, bạn)) = = bạn,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Đây là một cách có thể tiến hành: Vì là đồng nhất của độ một trong , nên nó có thể được viết là Áp dụng đẳng thức cho trong đó ngụ ý rõ ràng rằng là đồng nhất độ một trong . Bạn có thể sử dụng một lập luận tương tự để chứng minh tính đồng nhất của nhu cầu Hicksian. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = = m v (p, 1) = = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, bạn) = = \frac{bạn}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

Với tất cả những gì đã nói, tôi sẽ đề nghị bạn chứng minh trực tiếp tuyên bố ban đầu bằng cách sử dụng các định nghĩa về hàm chi tiêu và nhu cầu của Hicksian. Ví dụ:

\begin{aligned} e (p, λ bạn) & = = tối thiểu p \cdot x thứ bạn (x) \geq λ bạn \\ = = λ tối thiểu p \cdot \frac{1}{λ} x thứ \frac{1}{λ} bạn (x) \geq bạn \\ = = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Vương Vĩ
nguồn

OK cảm ơn bạn. Tôi làm điều đó cho nhu cầu hicksian là tốt. Vui lòng kiểm tra giải pháp của tôi cũng cho nhu cầu hicksian. một lần nữa hãy bình thường hóa m = 1. Và . Vì nên tôi có do đó, vì e (p, u) là đồng nhất của độ một trong u, nên nhu cầu của hicks cũng là đồng nhất của độ một trong u. Thê nay đung không? Vui lòng kiểm tra lại lần nữa @ZiweiWang cảm ơn bạn rất nhiều. :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009

Lưu ý rằng bạn đã cắm vào , vì vậy (tức là không nên xuất hiện trong biểu thức của bạn cho .)

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang