Có phải mọi phân bổ đều có cải thiện Pareto tối đa?

Hãy xem xét một nền kinh tế với số lượng hàng hóa hữu hạn và số lượng hữu hạn của mỗi hàng hóa. Mỗi tác nhân có một mối quan hệ ưu tiên là một quan hệ tổng thể, phản xạ và so với tập hợp các bó. Với sự phân bổ của hàng hóa trong số các đại lý, giả sử rằng là sự cải thiện Pareto tối đa của nếu: $i$ $\succeq_i$ $x$ $x^*$ $x$

là Pareto tối ưu, $x^*$
Mỗi đại lý yếu thích việc phân bổ qua việc phân bổ . $x^*$ $x$

Điều kiện yếu nhất về mối quan hệ ưu tiên đảm bảo rằng mọi phân bổ đều có cải thiện Pareto tối đa? $\succeq_i$

Tôi đoán rằng bằng cách nào đó nó có liên quan đến sự nhỏ gọn, tuy nhiên, tôi không thấy cách xác định điều kiện này trên quan hệ sở thích.

mathematical-economics pareto-efficiency

— Erel Segal-Halevi
nguồn

Một số làm rõ: Tôi đoán bạn giả định các điều kiện thông thường của tính phản xạ, tính đầy đủ và tính xuyên suốt cho mối quan hệ sở thích làm cho nó trở thành một thứ tự? Bạn cũng giả định liên tục?

— Giskard

@denesp có. Theo "tính liên tục", bạn có nghĩa là, với mọi gói

, tập

là tập đóng?

x

$x$

{y | y ⪰_{i} x}

$\{y|y \succeq_i x\}$

— Erel Segal-Halevi

Vâng, đó là những gì tôi có ý nghĩa.

— Giskard

Bạn có chắc chắn muốn sở thích của bạn là chống đối xứng? Không có các ưu tiên hoàn chỉnh, bắc cầu, liên tục, đối xứng được xác định trên một tập hợp con của

cho

với phần bên trong không trống.

R^{l}

$\mathbb{R}^l$

l \geq 2

$l\geq 2$

— Michael Greinecker

@TheororyEconomist Ví dụ: cải tiến Pareto không phải là tối ưu Pareto.

— Giskard

Câu trả lời:

Tôi nghĩ rằng có một bằng chứng ngắn nếu bạn cũng cho rằng số lượng tác nhân là hữu hạn và các sở thích là liên tục. $n$

Với giả định thứ hai Định lý của Debreu (1954, "Biểu diễn thứ tự ưu tiên theo hàm số") nói rằng hàm tiện ích liên tục tồn tại đại diện cho các ưu tiên. Tôi sẽ biểu thị hàm tiện ích đại diện cho sở thích của tác nhân bởi . $i$ $U_i$

Mặc dù điều này hơi hiếm nhưng tôi sẽ biểu thị tác nhân tiện ích nhận được từ phân bổ bởi . $i$ $x$ $U_i(x)$

Một thuật toán dẫn đến cải thiện Pareto tối đa của : Bước 1. Ban đầu đặt và đặt . Bước 2. Tối đa hóa tiện ích của tác nhân qua tập phân bổ trong đó tất cả các tác nhân khác có ít nhất tiện ích . Vì tất cả các chức năng là liên tục, có một số lượng hàng hóa hữu hạn và số lượng hữu hạn của mỗi hàng hóa, cho tất cả , tập hợp trên của $x$
$i=1$ $y = x$
$i$ $j$ $U_j(y)$ $U_j$ $j$ $U_j$ là một bộ kín. Một giao điểm hữu hạn của các tập đóng cũng là một tập đóng. Vì cũng liên tục, nó sẽ có tối đa trên bộ này. Chọn một phân bổ mà tối đa hóa và để điều này là việc phân bổ của chúng tôi từ giờ trở đi, do đó, đặt . Bước 3. Nếu , dừng lại. Nếu không, đặt và chuyển sang bước 2. $U_i$ $y'$ $U_i$ $y$ $y = y'$
$i = n$ $i = i+1$

Lưu ý những điều sau:

Bất kỳ chuyển từ sang trong Bước 2. là một cải tiến Pareto. $y$ $y'$
Các cải tiến Pareto mang tính bắc cầu, do đó, bộ cải tiến Pareto đang thu hẹp, tức là nếu là cải tiến Pareto cho thì bộ cải tiến Pareto cho được bao gồm trong bộ cải tiến Pareto cho . $y'$ $y$ $y'$ $y$
Vì tiện ích của tác nhân được tối đa hóa trong Bước 2. qua tập hợp các cải tiến Pareto cho , không thể tăng tiện ích của anh ta bằng cách cải thiện Pareto. Do đó, một khi chúng ta đạt được Bước 3. với chúng ta có phân bổ tối ưu Pareto , đó là cải tiến Pareto của hoặc trong đó : . Do đó là một cải tiến Pareto tối đa của . $i$ $y$ $i = n$ $y$ $x$ $\forall i$ $x\sim_i y$ $y$ $x$

Một nhận xét: Dường như với tôi bạn có thể thay thế sự liên tục bằng sự đơn điệu, nhưng điều đó sẽ đòi hỏi một bằng chứng khác. Hy vọng người khác là tùy thuộc vào nó!

— Giskard
nguồn

Thay vì liên tục, liệu có đủ để giả sử "nửa liên tục", tức là chỉ các bộ "lớn hơn" được đóng lại?

— Erel Segal-Halevi

U_{i}

$U_i$

U_{i}

$U_i$

⪯_{i}

$\preceq_i$

⪯

$\preceq$

y

$y$

x ⪯ y

$x\preceq y$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

@MichaelGreinecker Đáng buồn là tôi phải biện hộ cho sự thiếu hiểu biết về nguyên tắc giao cắt hữu hạn. Michael nếu bạn đăng một câu trả lời dựa trên đó tôi sẽ nâng cao nó.

— Giskard

Đây thực chất là một biến thể của câu trả lời từ chối yêu cầu các giả định ít hơn một chút.

$l$ $m$ $\mathbb{R}^{lm}_+$ $e\in\mathbb{R^l}_+$ $\sum^{-1}(\{e\})$ $\sum:\mathbb{R}^{lm}_+\to\mathbb{R}^l$ $\{e\}\subseteq\mathbb{R}^l$ $A\subseteq\mathbb{R}^{lm}_+$

$\succeq$ $A$ $x=(x_1,\ldots,x_m)$ $y=(y_1,\ldots,y_m)$ $x\succeq y$ $x_i\succeq_i y_i$ $i$ $x^*\in A$ $x$ $x^*\succeq x$ $y\in A$ $y\succeq x^*$ $x^*\succeq y$

$a\in\mathbb{R}^l_+$ $i$ $\{b\in\mathbb{R}^l\mid b\succeq_i a\}$ $A_x=\{y\in A\mid y\succeq x\}$ $\succeq$ $x^*\in A_x$

$\succ$ $\succeq$ $\succeq$ $\succ$ $\succ$

$L_z=\{y\in A_y\mid y\prec z\}$ $\succ$ $z$ $\succ$ $A_x$ $A_x$ $L_z$ $z\in A_x$ $L_z$ $A_x$ $\{L_z\mid z\in A_x\}$ $A_x$ $F\subseteq A_x$ $\{L_z\mid z\in F\}$ $A_x$ $z\in F$ $z'\in F$ $z\in L_{z'}$ $z'\succ z$ $\succ$ $F$ $\langle z_n\rangle$ $z_{n+1}\succ z_n$ $n$ $\succ$ $F$

— Michael Greinecker
nguồn