Người tiêu dùng tối ưu trong một nền kinh tế với sự liên tục của hàng hóa

Hãy xem xét một nền kinh tế có sự liên tục của hàng hóa, với một hàng hóa cho mỗi điểm trong .$[0,1]$

Giả sử người tiêu dùng muốn tối đa hóa chủ đề cho trong đó là số lượng của -th hàng hóa được tiêu thụ, giá của nó và thu nhập tiền của người tiêu dùng.∫ 1 0 p i c

$$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ c i i p i $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ $c_i$$i$$p_i$$M$

Loại vấn đề này phát sinh ví dụ trong việc áp dụng mô hình Dixit-Stiglitz cho kinh tế vĩ mô hoặc thương mại quốc tế.

Giải pháp cho vấn đề này được cho là trong đó là hằng số được chọn để đảm bảo rằng ràng buộc ngân sách được thỏa mãn.

$$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ $A$

Tôi không hài lòng lắm với các dẫn xuất của kết quả này, sử dụng hệ số nhân Lagrange tương tự với trường hợp số lượng hàng hóa hữu hạn. Điều gì sẽ là một phương pháp hoàn toàn nghiêm ngặt về mặt toán học để có được kết quả trên?

Dường như rõ ràng rằng không có một giải pháp duy nhất vì việc tùy ý thay đổi các giá trị của cho một số giá trị hữu hạn của sẽ giữ nguyên các tích phân trong hàm tiện ích và ràng buộc ngân sách không thay đổi. Tôi hy vọng rằng một dẫn xuất hoàn toàn nghiêm ngặt cũng sẽ xác định chính xác mức độ không duy nhất này.$c_i$$i$

EDIT: Đáp lại những bình luận của @BKay, @Ubiquitous. Vấn đề của tôi khi bắt đầu với các nền kinh tế với hàng hóa và lấy giới hạn là là điều này cần phải đi kèm với một lập luận cho thấy giới hạn tối ưu là tối ưu của vấn đề giới hạn. Tôi sẽ đánh giá cao một tham chiếu đến một kết quả cho thấy điều này cho vấn đề cụ thể này hoặc một kết quả chung áp dụng cho vấn đề này.n → $n$$n \to \infty$

Đáp lại @AlecosPapadopoulos. Bằng chứng về phương pháp số nhân Langrange được dạy trong toán học cho các khóa học kinh tế thường là cho một số lượng hữu hạn các biến số lựa chọn. Tôi sẽ đánh giá cao một tham chiếu đến nơi phương thức được chứng minh cho sự liên tục của các biến lựa chọn. Ngoài ra, tính không đồng nhất mà tôi đề cập ở trên cho thấy phương pháp không thể chính xác. Vậy thì chính xác những bằng cấp cần thiết cho tính hợp lệ của nó là gì?

Điều hoàn toàn nghiêm ngặt sẽ là viết phương trình độ trễ Euler của phép tính biến đổi vấn đề này, điều này sẽ cung cấp cho bạn một giải pháp mạnh mẽ đó là những gì bạn có hoặc một giải pháp yếu được viết đối với phân phối.

Như OP đã lưu ý trong một nhận xét, Định lý 1 trong phần 12 của Kolomogorov và Fomin's Compus of Variations dường như cung cấp một sự thoải mái rằng chúng ta thực sự có thể sử dụng phương pháp Langrange Multiplier khi số lượng biến của chúng ta là vô hạn. Tuy nhiên, các tác giả làm điều đó trong một chú thích, viết "người đọc sẽ dễ dàng nhận ra sự tương tự với số nhân Langrange". Vì vậy, không, điều này không nghiêm ngặt cho thấy những gì chúng ta muốn.

Tôi nghĩ rằng những gì chúng ta cần là một bài báo như Craven, BD (1970). Một khái quát của số nhân Lagrange. Bản tin của Hiệp hội toán học Úc, 3 (03), 353-362. trong tóm tắt của nó viết:

Phương pháp nhân số Lagrange để giải bài toán giá trị cố định bị ràng buộc được khái quát hóa để cho phép các hàm lấy giá trị trong các không gian Banach tùy ý (trên trường thực). Tập hợp số nhân Lagrange trong bài toán chiều hữu hạn được hiển thị để được thay thế bằng ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach có liên quan.

Đây là môn toán nói nhưng nó nói những gì chúng ta muốn nghe (người ta cũng có thể tìm thấy một đoạn trích ngắn trong wikipedia đến mức độ tin cậy nội dung).

Sau đó, chúng ta có thể hình thành Lagrangean của vấn đề

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

và tính toán các điều kiện đặt hàng đầu tiên bằng cách nói một cách không chính thức, "nhìn vào tích phân và thấy một tổng",

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$$

... Một sự liên tục của các điều kiện. Để sử dụng sau, chúng tôi xác định

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

Hằng số có thể được hiển thị là độ co giãn thay thế giữa hai hàng hóa bất kỳ.$\sigma$

Viết cho hàng hóa và đánh đồng qua hệ số nhân độ trễ phổ biến mà chúng ta đến$(1)$$j$

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$$

Nhân cả hai bên với và lấy tích phân trên không gian giao tiếp đối với :$p_i$$i$

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$$

đó là nhu cầu của Marshall cho hàng hóa .$j$

Đây chỉ là một chi tiết của câu trả lời được đưa ra bởi @ user157623. Tôi đang đăng nó như một wiki cộng đồng để thuận tiện.

Định lý 1 của Phần 12 của Kolmogorov và Tính toán biến đổi của Fomin nói

$$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ $K[y]$$J[y]$$y=y(x)$$y=y(x)$$K[y]$$\lambda$$y=y(x)$ $$\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$$ $y=y(x)$ $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$$

$x$$i$$c$$y$$F(i,c,c')=c^\theta$$G(i,c,c')=pc$

$$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$

$K[y]$$y(a)$$y(b)$$c$$c^*(i)$$c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

Cái bắt duy nhất là trong bản chất của định lý. Nó cung cấp các điều kiện cần thiết cho một tối ưu. Cho rằng trong trường hợp của chúng tôi, điều kiện cần thiết cho một kết quả duy nhất, tất cả những gì chúng tôi cần để làm cho nó đủ là để tranh luận rằng vấn đề của chúng tôi có một giải pháp.

Các bằng chứng trong Kolmogorov-Fomin cho rằng các chức năng chúng ta đang xử lý có các dẫn xuất đầu tiên liên tục. Vì vậy, chúng ta vẫn cần chỉ ra rằng vấn đề của người tiêu dùng có tối ưu trong lớp chức năng này nhưng cho rằng vấn đề đã được giải quyết.