Như một nhận xét đầu tiên: các tiên đề Anscombe-Aumann, đặc biệt là Độc lập, được định nghĩa đối với các hành vi đưa không gian trạng thái vào một không gian tuyến tính (nói chung là xổ số đơn giản đối với các đối tượng tiêu thụ). Ngay cả khi chúng tôi xem xét việc hạn chế mô hình đối với các hành vi không chắc chắn chủ quan, chúng tôi vẫn cần sử dụng mô hình đầy đủ nếu không chúng tôi sẽ mất thông tin.
Điều đó đang được nói: Hãy để là một không gian trạng thái hữu hạn và X là một tập hợp thay thế hữu hạn. Hãy Δ ( X ) biểu thị tất cả các xổ số trên X và f : S → Δ ( X ) là một hành động. Đối với một sự kiện E ⊆ S , hãy để f - E g là hành động được xác định bởi
f - E g { f ( s ) nếu x ∈ E g ( s ) nếu SXΔ(X)Xf:S→Δ(X)E⊆Sf−Eg
f−Eg{f(s) if x∈Eg(s) if x∉E.
f - E c h ≿ g - E c h f ≿ g .f−Eh≿g−Ehf−Ech≿g−Echf≿g.
Giả sử tiền đề của STP. Từ và sự độc lập, chúng ta có
Lưu ý rằng chúng ta có thể viết lại cái này dưới dạng
và, áp dụng độc lập một lần nữa, chúng ta sẽ nhận được
1f−Eh≿g−Eh1
12f−Eh+12f−Ech≿12g−Eh+12f−Ech.
f ≿ g - E f .12f+12h≿12g−Ef+12h
f≿g−Ef.(1)
Theo cách tương tự, từ và sự độc lập chúng ta có
Một lần nữa, chúng ta có thể viết lại dưới dạng
và, áp dụng lại tính độc lập, chúng ta sẽ nhận được
1f−Ech≿g−Ech1
12f−Ech+12g−Eh≿12g−Ech+12g−Eh.
12g−Ef+12h≿12g+12h
g−Ef≿g.(2)
Kết hợp (1) và (2) thông qua tính siêu việt mang lại các mối quan hệ mong muốn. Quay trở lại nhận xét ban đầu, lưu ý rằng để áp dụng tính độc lập, chúng ta cần kết hợp các hành vi, lôi cuốn rủi ro khách quan. Do đó, ngay cả khi , và không có rủi ro khách quan, chúng ta vẫn cần các hành động rủi ro để làm trung gian trong bằng chứng. Theo một nghĩa nào đó, đây là cái nhìn sâu sắc đối với toàn bộ khung AA --- sử dụng rủi ro khách quan để vượt qua sự cần thiết của một không gian trạng thái vô hạn bằng cách sử dụng tính tuyến tính của các kỳ vọng để buộc STP.fgh
Chỉ lưu ý tính độc lập và tính xuyên sáng được sử dụng. Điều này cần chỉ ra rằng ngay cả EU phụ thuộc vào nhà nước (nơi đơn điệu / độc lập nhà nước không thành công) hoặc Bewley EU (nơi hoàn toàn được nới lỏng) vẫn sẽ đáp ứng STP.
Chỉnh sửa để phản hồi nhận xét: Hãy gọi khái niệm trên của Nguyên tắc chắc chắn STP1 và nói rằng sở thích thỏa mãn STP2 nếu với mọi . Sau đó, nếu là một preorder, nó thỏa mãn STP1 khi và chỉ khi nó thỏa mãn STP2.f−Eh≿g−Eh⟺f−Eh′≿g−Eh′f,g,h,h′≿
Đầu tiên giả sử STP2 giữ và và . Sau đó, bằng STP2, chúng ta có
Độ biến đổi ngụ ý ; STP1 giữ.f−Eh≿g−Ehf−Ech≿g−Ech
f=f−Ef≿g−Ef and g−Ef=f−Ecg≿g.
f≿g
Tiếp theo, giả sử STP1 giữ và . Xác định và tương tự. Theo định nghĩa
vì vậy giả định của chúng tôi là
Hơn nữa do đó, theo phản xạ ưu tiên,
Bây giờ chúng ta có thể áp dụng STP1 cho (3) và (4) để có đượcf−Eh≿g−Ehf^=f−Eh′g^
f^−Eh=f−Eh and g^−Eh=g−Eh,
f^−Eh≿g^−Eh.(3)
f^−Ech=g^−Ech=h′−Ehf^−Ech≿g^−Ech.(4)
f^≿g^, theo định nghĩa của chúng, chính xác những gì chúng ta cần hiển thị cho STP2 để giữ.