Những tiên đề nào của Anscombe-Aumann ngụ ý nguyên tắc Sure-Thing?


8

Xem xét cài đặt Anscombe-Aumann và giả định rằng mối quan hệ sở thích thỏa mãn tất cả các tiên đề ban đầu của Anscombe-Aumann (tính hợp lý, tính liên tục, tính độc lập và tính đơn điệu).

Nếu chúng ta hạn chế sự chú ý đến các cuộc đua ngựa thuần túy (nghĩa là hành động mà không có bất kỳ sự không chắc chắn khách quan nào), mô hình Anscombe-Aumann sẽ có một đại diện Tiện ích Dự kiến ​​Chủ quan là la Savage. Do đó, qua các cuộc đua ngựa thuần túy, người ra quyết định thỏa mãn tất cả các tiên đề của Savage, đáng chú ý là Nguyên tắc chắc chắn (P2 theo thuật ngữ của Savage).

Tôi không thấy mối liên hệ trực tiếp giữa các tiên đề của Anscombe-Aumann và Nguyên tắc chắc chắn. Có ai thấy Nguyên tắc Chắc chắn được ngụ ý bởi các tiên đề của Anscombe-Aumann không? Cụ thể, nó chỉ xuất phát từ Độc lập, hay là Độc lập và Đơn điệu bắt buộc?

Câu trả lời:


8

Như một nhận xét đầu tiên: các tiên đề Anscombe-Aumann, đặc biệt là Độc lập, được định nghĩa đối với các hành vi đưa không gian trạng thái vào một không gian tuyến tính (nói chung là xổ số đơn giản đối với các đối tượng tiêu thụ). Ngay cả khi chúng tôi xem xét việc hạn chế mô hình đối với các hành vi không chắc chắn chủ quan, chúng tôi vẫn cần sử dụng mô hình đầy đủ nếu không chúng tôi sẽ mất thông tin.

Điều đó đang được nói: Hãy để là một không gian trạng thái hữu hạn và X là một tập hợp thay thế hữu hạn. Hãy Δ ( X ) biểu thị tất cả các xổ số trên Xf : S Δ ( X ) là một hành động. Đối với một sự kiện E S , hãy để f - E g là hành động được xác định bởi f - E g { f ( s )  nếu  x E g ( s )  nếu SXΔ(X)Xf:SΔ(X)ESfEg

fEg{f(s) if xEg(s) if xE.

f - E c h g - E c h f g .fEhgEhfEchgEchfg.

Giả sử tiền đề của STP. Từ và sự độc lập, chúng ta có Lưu ý rằng chúng ta có thể viết lại cái này dưới dạng và, áp dụng độc lập một lần nữa, chúng ta sẽ nhận được 1fEhgEh1

12fEh+12fEch12gEh+12fEch.
f g - E f .
12f+12h12gEf+12h
(1)fgEf.

Theo cách tương tự, từ và sự độc lập chúng ta có Một lần nữa, chúng ta có thể viết lại dưới dạng và, áp dụng lại tính độc lập, chúng ta sẽ nhận được 1fEchgEch1

12fEch+12gEh12gEch+12gEh.
12gEf+12h12g+12h
(2)gEfg.

Kết hợp (1) và (2) thông qua tính siêu việt mang lại các mối quan hệ mong muốn. Quay trở lại nhận xét ban đầu, lưu ý rằng để áp dụng tính độc lập, chúng ta cần kết hợp các hành vi, lôi cuốn rủi ro khách quan. Do đó, ngay cả khi , và không có rủi ro khách quan, chúng ta vẫn cần các hành động rủi ro để làm trung gian trong bằng chứng. Theo một nghĩa nào đó, đây là cái nhìn sâu sắc đối với toàn bộ khung AA --- sử dụng rủi ro khách quan để vượt qua sự cần thiết của một không gian trạng thái vô hạn bằng cách sử dụng tính tuyến tính của các kỳ vọng để buộc STP.fgh

Chỉ lưu ý tính độc lập và tính xuyên sáng được sử dụng. Điều này cần chỉ ra rằng ngay cả EU phụ thuộc vào nhà nước (nơi đơn điệu / độc lập nhà nước không thành công) hoặc Bewley EU (nơi hoàn toàn được nới lỏng) vẫn sẽ đáp ứng STP.


Chỉnh sửa để phản hồi nhận xét: Hãy gọi khái niệm trên của Nguyên tắc chắc chắn STP1 và nói rằng sở thích thỏa mãn STP2 nếu với mọi . Sau đó, nếu là một preorder, nó thỏa mãn STP1 khi và chỉ khi nó thỏa mãn STP2.fEhgEhfEhgEhf,g,h,h

Đầu tiên giả sử STP2 giữ và và . Sau đó, bằng STP2, chúng ta có Độ biến đổi ngụ ý ; STP1 giữ.fEhgEhfEchgEch

f=fEfgEf and gEf=fEcgg.
fg

Tiếp theo, giả sử STP1 giữ và . Xác định và tương tự. Theo định nghĩa vì vậy giả định của chúng tôi là Hơn nữa do đó, theo phản xạ ưu tiên, Bây giờ chúng ta có thể áp dụng STP1 cho (3) và (4) để có đượcfEhgEhf^=fEhg^

f^Eh=fEh and g^Eh=gEh,
(3)f^Ehg^Eh.
f^Ech=g^Ech=hEh
(4)f^Echg^Ech.
f^g^, theo định nghĩa của chúng, chính xác những gì chúng ta cần hiển thị cho STP2 để giữ.

(+1) Một câu hỏi: đã chỉ ra rằng STP yêu cầu các hành vi không ảnh hưởng đến xác suất đối với các sự kiện, nếu không thì có thể không giữ được. Điều này có được bảo đảm / đảm bảo bởi khung AA không?
Alecos Papadopoulos

@ 201p câu trả lời tuyệt vời, cảm ơn rất nhiều. Một câu hỏi: định nghĩa chuẩn của STP là . Là định nghĩa của bạn tương đương với cái này? fEhgEhfEhgEh
Oliv

@AlecosPapadopoulos không phải là tiên đề P4 (thay vì P2) đòi hỏi xác suất phải độc lập với hành động? Nếu không, bạn có một tài liệu tham khảo cho yêu cầu của bạn?
Oliv

@Oliv Chắc chắn, hãy kiểm tra ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r466.pdf và tài liệu trong đó.
Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos cảm ơn rất nhiều, điều đó rất hữu ích.
Oliv
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.