Đấu giá giá thứ hai - điều chỉnh PDF cho giá đặt phòng

2

Tình huống:

Có một cuộc đấu giá giá thứ hai với 2 người chơi. Hãy xem xét một cuộc đấu giá giá thứ hai với 2 người chơi. Định giá của họ về các đối tượng tại cuộc đấu giá đang có và được một cách độc lập và hệt phân phối với pdf và lũy . trên . Giả sử là liên tục và tích cực hơn . $f$ $F$ $[0,\hat v]$ $f$ $[0,\hat v]$

Bây giờ đến đây câu hỏi: giá thầu đặt chỗ hiện đang được triển khai - người chiến thắng trả giá thứ hai trong số giá thầu cao nhất bao gồm giá đặt phòng hoặc nếu cả hai giá thầu thấp hơn thì không ai thắng. Tôi muốn tìm bản pdf rằng cả hai giá thầu đều nằm trên và trên một số và thêm giá trị này vào phương trình tính doanh thu dự kiến cho nhà đấu giá. $r$ $r$ $x$

Tôi đã tìm thấy pdf cho cả hai giá thầu nằm trên một số giá trị của : . Pdf cho cả hai đều ở trên là . $x$ $2f(x)(1-F(x))$ $r$ $(1-F(r))^2$

Tôi đã xem xét một câu trả lời cho vấn đề này và nó gợi ý rằng pdf kết hợp là . Ai đó có thể giải thích cho tôi làm thế nào là như vậy? $\frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}$

Sau đó, khi tính toán doanh thu dự kiến cho người bán đấu giá, chúng tôi đã cho trường hợp cả hai giá thầu lớn hơn : $r$ . Tôi cũng khá bối rối tại sao chúng ta nhân với. $(1-F(r))^2\int_r^\hat v{\frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}}dx$ $(1-F(r))^2$

auctions

— Chaerephon
nguồn

3

Để tìm doanh thu dự kiến của người bán trong phiên đấu giá giá thứ hai với giá dành riêng bao gồm hai nhà thầu trả giá định giá của họ ở trạng thái cân bằng, chúng tôi thực hiện như sau:

Cho rằng định giá là iid với pdf và CDF trên , doanh thu mà người bán được cho ngộ khác nhau của định giá cầu thủ được như đã nêu trong đồ thị dưới đây: $f$ $F$ $[0, \hat{v}]$

Do đó, doanh thu dự kiến của người bán là:

\begin{array}{rcl} \int_{r}^{\hat{v}} \int_{r}^{v_{2}} v_{1} f (v_{1}) f (v_{2}) d v_{1} d v_{2} + \int_{r}^{\hat{v}} \int_{v_{2}}^{\hat{v}} v_{2} f (v_{1}) f (v_{2}) d v_{1} d v_{2} \\ + \int_{0}^{r} \int_{r}^{\hat{v}} r f (v_{1}) f (v_{2}) d v_{1} d v_{2} + \int_{r}^{\hat{v}} \int_{0}^{r} r f (v_{1}) f (v_{2}) d v_{1} d v_{2} \\ = & \int_{r}^{\hat{v}} v_{1} (1 - F (v_{1})) f (v_{1}) d v_{1} + \int_{r}^{\hat{v}} v_{2} (1 - F (v_{2})) f (v_{2}) d v_{2} + 2 r F (r) (1 - F (r)) \\ = & 2 \int_{r}^{\hat{v}} v_{2} (1 - F (v_{2})) f (v_{2}) d v_{2} + 2 r F (r) (1 - F (r)) \end{array}

$\begin{eqnarray*} &&\int_r^\hat{v}\int_r^{v_2} v_1 f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 + \int_r^\hat{v}\int_{v_2}^\hat{v} v_2 f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 \\ &&+\int_0^r\int_r^\hat{v} r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 + \int_r^\hat{v}\int_0^r r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 \\ &=& \int_r^\hat{v}v_1 (1-F(v_1))f(v_1)dv_1 + \int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 + 2rF(r)(1-F(r)) \\ &=& 2\int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 + 2rF(r)(1-F(r))\end{eqnarray*}$

— Amit
nguồn

2

$v_1$ $v_2$

P r (v_{1} > x \land v_{2} > x | r < v_{1} \land r < v_{2})

$Pr( v_1>x \land v_2>x \;|\; r<v_1 \land r<v_2)$

\frac{d (\frac{(1 - F (x))^{2}}{(1 - F (r))^{2}})}{d x} = \frac{2 f (x) (1 - F (x))}{(1 - F (r))^{2}}

$\frac{d\left( \frac{(1-F(x))^2}{(1-F(r))^2} \right)}{dx} = \frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}$

Tuy nhiên, từ những lời của bạn, người ta suy luận rằng những gì nó yêu cầu là đạo hàm (vì vậy mật độ) của xác suất sau:

P r (v_{1} > m a x (r, x) \land v_{2} > m a x (x, r))

$Pr(v_1>max(r,x) \;\land\; v_2>max(x,r))$

\frac{d ((1 - F (x))^{2})}{d x} = 2 f (x) (1 - F (x))

$\frac{d\left( (1-F(x))^2 \right)}{dx} = 2f(x)(1-F(x))$

r

$r$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

x

$x$

x

$x$

r

$r$

v_{i}

$v_i$

x

$x$

v_{i}

$v_i$

r

$r$

i = 1, 2

$i=1,2$

r

$r$ trong trường hợp này. Nhưng tôi không nghĩ rằng câu hỏi của bạn yêu cầu điều này.

$v_1$ $v_2$ $x$ $r$ $v_1$ $v_2$ $r$ $\int_0^r\int_r^\hat{v} r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2$ $\int_r^\hat{v}\int_0^r r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2$ $2\int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2$ $v_2$ $x$

— Osman Bulut
nguồn