2SLS với các điều khoản tương tác nội sinh

Giả sử tôi có mô hình hồi quy: $$ y_ {i} = x_ {1i} \ beta_ {1} + x_ {1i} D_ {i} \ beta_ {2} + \ epsilon $$  trong đó $ \ mathbb {E} \ left [\ epsilon_ {i} | x_ {i} \ right] \ neq0 $, và ở đó là một vấn đề của nội sinh. Ở trên, hãy nghĩ về biến giả bằng $ 1 $ khi $ i $ là nam. Như vậy, mô hình này cho phép cho hiệu ứng khác biệt của $ x_ {1i} $ trên $ y_ {i} $, nếu là cá nhân là nam hay nữ. Để có được ước tính phù hợp, giả sử Tôi có một công cụ $ z_ {1i} $, cả hai đều là một công cụ có liên quan cho $ x_ {1i} $ và đáp ứng hạn chế loại trừ (như vậy $ cov (z_ {i}, \ epsilon_ {i}) = 0). $ Nếu không có thuật ngữ tương tác, Sẽ là không đáng kể để ước tính ở trên bằng cách sử dụng bình phương tối thiểu Hai giai đoạn, hoặc đơn giản chỉ là tính toán: $$ \ hat {\ beta} = \ left (\ boldsymbol {z '} x \ right) ^ {- 1} \ left (\ boldsymbol {z'y} \ right) $$

Tuy nhiên, sự phức tạp phát sinh do thuật ngữ tương tác. Làm sao tôi sẽ đi lấy các ước tính cho cả $ \ beta_ {1} $ và $ \ beta_ {2} $? Một tùy chọn là xây dựng một công cụ khác $ D_ {i} Z_ {1i} $. Sẽ thủ tục như vậy có hợp lệ không?

Đặt $ X $ là ma trận hồi quy ban đầu và $ Z = [z \; \; zd] $ là ma trận intstrument và xem xét công cụ ước tính IV

$$ \ hat \ beta_ {IV} = (Z'X) ^ {- 1} Z'y = (Z'X) ^ {- 1} Z '(X \ beta + u) = \ beta + (Z' X) ^ {- 1} Z'u $$

Miễn là những thứ được bao gồm trong $ Z $ là trực giao với cụm từ lỗi, chúng tôi sẽ có được tính nhất quán ... với điều kiện $ Z'X $ vẫn không thể đảo ngược, một thứ mà bạn có thể dễ dàng kiểm tra trong trường hợp của mình.