Burdett và Mortensen (1998), Phương trình (22), Tích phân theo câu hỏi từng phần

Giả sử và đều là các hàm dist thăm dò tích lũy trên sự hỗ trợ của và chúng tôi biết các cách sau: $F(x)$ $H(x)$ $[b_0,b_1]$

u (x | F) = \int_{b_{0}}^{x} \frac{m}{1 + k [1 - F (b)]} d H (b)

$u(x|F)=\int_{b_0}^{x}\frac{m}{1+k[1-F(b)]} dH(b)$

và từ đây

[1 + k (1 - F (x))] d u (x | F) = m d H (x)

$[1+k(1-F(x))]du(x|F)=mdH(x)$

Chúng tôi cũng biết rằng

G (w) (m - u (b_{1} | F)) = \frac{k \int_{b_{0}}^{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)}{1 + k (1 - F (w))}

$G(w)(m-u(b_1|F))=\frac{k\int_{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)}{1+k(1-F(w))}$

Sau đó, trong bài báo, các tác giả có được sau đây là phương trình [22] trong bài báo

\frac{(m - u (b_{1} | F)) d G (w)}{d F (w)} = \frac{k m H (w)}{[1 + k [1 - F (w)]]^{2}}

$\frac{(m-u(b_1|F))dG(w)}{dF(w)}=\frac{kmH(w)}{[1+k[1-F(w)]]^2}$

Tôi thực sự không hiểu làm thế nào các tác giả có được điều này. Ai đó có thể giúp tôi được không?

labor-economics search-and-matching

— Juwon Kwak
nguồn

Các tác giả áp dụng ở bước thứ hai chính xác các quy tắc họ đã sử dụng ở bước đầu tiên, liên quan đến việc tính toán tổng vi phân của một tích phân, cũng tính đến việc tích phân được lấy qua một hàm của biến tích hợp chứ không chỉ tích hợp biến chính nó.

Bước đầu tiên là

d [u (x | F)] = d [\int_{b_{0}}^{x} \frac{m}{1 + k [1 - F (b)]} d H (b)]

$d[u(x|F)]=d\left[\int_{b_0}^{x}\frac{m}{1+k[1-F(b)]} dH(b)\right]$

\begin{matrix} (1) & = \frac{m}{1 + k [1 - F (x)]} d H (x) \end{matrix}

$=\frac{m}{1+k[1-F(x)]}dH(x) \tag{1}$

và sắp xếp lại chúng tôi nhận được kết quả đầu tiên. Áp dụng logic tương tự, chúng ta có

(m - u (b_{1} | F)) \cdot d [G (w)] = k d [\frac{\int_{b_{0}}^{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)}{1 + k (1 - F (w))}]

$(m-u(b_1|F))\cdot d\big[G(w)\big]=kd\left[\frac{\int_{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)}{1+k(1-F(w))}\right]$

$w$ $G$ $d_w$

k d_{w} [\frac{\int_{b_{0}}^{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)}{1 + k (1 - F (w))}] \equiv k d_{w} (\frac{A (w)}{B (w)}) = k \frac{B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w)}{[B (w)]^{2}}

$kd_w\left[\frac{\int_{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)}{1+k(1-F(w))}\right] \equiv k d_w\left(\frac{A(w)}{B(w)}\right) = k\frac{B(w)d_wA(w) - A(w)d_wB(w)}{[B(w)]^2}$

Chúng tôi thấy rằng mẫu số chính xác là biểu thức cuối cùng của các tác giả, vì vậy nó không có gì đáng lo ngại. Chúng tôi chuyển sang tử số. Từng cái một,

d_{w} A (w) = d_{w} [\int_{b_{0}}^{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)]

$d_wA(w) = d_w\left[\int_{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)\right]$

= [F (w) - F (w)] d u (w | F) + [\int_{b_{0}}^{w} d_{w} [F (w) - F (x)] d u (x | F)]

$= [F(w)-F(w)]du(w|F) + \left[\int_{b_0}^w d_w[F(w)-F(x)]du(x|F)\right]$

= 0 + d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} d u (x | F) + 0

$= 0 + d_wF(w) \int_{b_0}^w du(x|F) + 0$

$d_wF(x) = 0$ $F(x)$ $w$ $w$ $F(x)$

B (w) d_{w} A (w) = [1 + k (1 - F (w)] d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} d u (x | F)

$B(w)d_wA(w) = [1+k(1-F(w)]d_wF(w) \int_{b_0}^w du(x|F)$

\begin{matrix} (2) & = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} [1 + k (1 - F (w))] d u (x | F) \end{matrix}

$= d_wF(w)\int_{b_0}^w [1+k(1-F(w))]du(x|F) \tag{2}$

$x$

Đi đến học kỳ thứ hai, chúng ta có

d_{w} B (w) = - k d_{w} F (w)

$d_wB(w) = -kd_wF(w)$

Vì thế

\begin{matrix} (3) & - A (w) d_{w} B (w) = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} k [F (w) - F (x)] d u (x | F) \end{matrix}

$-A(w)d_wB(w) = d_wF(w) \int_{b_0}^w k[F(w)-F(x)]du(x|F) \tag{3}$

vì thế

B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w) = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} [1 + k (1 - F (w)] d u (x | F) + d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} k [F (w) - F (x)] d u (x | F)

$B(w)d_wA(w) -A(w)d_wB(w) = d_wF(w)\int_{b_0}^w [1+k(1-F(w)]du(x|F) \\+ d_wF(w) \int_{b_0}^w k[F(w)-F(x)]du(x|F)$

$d_wF(w)$

B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w) = = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} ([1 + k (1 - F (w)] + k [F (w) - F (x)]) d u (x | F)

$B(w)d_wA(w) -A(w)d_wB(w)=\\ = d_wF(w)\int_{b_0}^w\Big([1+k(1-F(w)] + k[F(w)-F(x)]\Big)du(x|F)$

$kF(w)$

B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w) = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} [1 + k (1 - F (x))] d u (x | F)

$B(w)d_wA(w) -A(w)d_wB(w) = d_wF(w)\int_{b_0}^w[1+k(1-F(x))]du(x|F)$

$(1)$

B (w) d_{w} A (w) - A (w) d_{w} B (w) = d_{w} F (w) \int_{b_{0}}^{w} m d H (x)

$B(w)d_wA(w) -A(w)d_wB(w) = d_wF(w)\int_{b_0}^wmdH(x)$

= m d_{w} F (w) \cdot (H (x) |_{b_{0}}^{w}) = m d_{w} F (w) \cdot (H (w) - H (b_{0}))

$= md_wF(w)\cdot \Big(H(x) \big|_{b_0}^w\Big) = md_wF(w)\cdot \Big(H(w) - H(b_0)\Big)$

$H()$ $(b_0, b_1)$ $H(b_0) =0$

Và chúng ta đã hoàn thành. Nói tóm lại, đừng ngại vượt qua các phép tính toán học.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Điều đó thật tuyệt vời. Tôi chỉ không tuân theo một phần (tích phân thứ ba sau từng phần một mà bạn nhận được số 0 +) khi bạn sử dụng quy tắc leibnitz. Tôi đã tìm nó ở đây en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule nhưng tôi vẫn không thể tìm ra nó. Bạn có phiền khi cung cấp những chi tiết đó không? Nó thực sự được đánh giá cao.

— đánh dấu các nhu cầu

\int_{b_{0}}^{w} d [F (w) - F (x)] d u (x | F) = \int_{b_{0}}^{w} d F (w) d u (x | F) - \int_{b_{0}}^{w} d F (x) d u (x | F)

$\int_{b_0}^w d[F(w)-F(x)]du(x|F)= \int_{b_0}^w dF(w)du(x|F)-\int_{b_0}^w dF(x)du(x|F)$

= d F (w) \int_{b_{0}}^{w} d u (x | F) - \int_{b_{0}}^{w} d F (x) d u (x | F)

$=dF(w)\int_{b_0}^w du(x|F)-\int_{b_0}^w dF(x)du(x|F)$

\int_{b_{0}}^{w} d F (x) d u (x | F) = 0

$\int_{b_0}^w dF(x)du(x|F) = 0$

w

$w$

d F (x) = 0

$dF(x) =0$

w

$w$

Cảm ơn rất nhiều vì đã trả lời chi tiết. Tôi sẽ đi qua cẩn thận và hy vọng theo nó.

— đánh dấu nhu cầu

@markleeds Bạn hoan nghênh. Vì có vẻ như bạn là người duy nhất quan tâm đến bài đăng này, có lẽ bạn nên xem xét nâng cao câu trả lời này để chủ đề được xóa khỏi hàng đợi "chưa được trả lời".

— Alecos Papadopoulos

Xin chào Alecos: Tôi sẽ thử nhưng tôi không biết nếu tôi được phép. Để tôi thử. Ngoài ra, tôi đã xem qua lời giải thích mới nhất của bạn và nó thật đẹp. Bạn nên (có thể bạn là?) Một giáo sư kinh tế lượng tốt nghiệp. sẽ có rất nhiều nhà kinh tế lượng có kiến thức ngoài kia !!!

— đánh dấu các nhu cầu