Khái niệm tô pô trong lý thuyết kinh tế

HỎI: Những ứng dụng chính hoặc có hệ thống của toán học sau những năm 1960 đối với kinh tế vi mô là gì?

Ví dụ, vào cuối thế kỷ 19, lần đầu tiên Fisher sử dụng các ý tưởng toán học của Gibbs để xây dựng lý thuyết tiện ích hiện đại. Trong thế kỷ 20, Mas-Colell đã kết hợp các ý tưởng tô pô để nghiên cứu trạng thái cân bằng chung. Thế còn cuối thế kỷ 20, đầu thế kỷ 21?

Ví dụ, xem xét lý thuyết đồ thị có hướng, lý thuyết đo lường, cấu trúc liên kết, lý thuyết phạm trù và tương đồng hiện đại hoặc cohomology, phương pháp topos, tích hợp chức năng, v.v.

Lưu ý 1 : kinh tế lượng / thống kê, không có mô hình hóa, được loại trừ. Toán học hiện đại duy nhất được sử dụng là lý thuyết đi bộ ngẫu nhiên, và vấn đề ergodic, được giải quyết thông qua phân tích phức tạp. RW và EP không đặc trưng cho kinh tế.

Bất kỳ ấn phẩm kinh tế thích hợp là một câu trả lời. Điều này cũng bao gồm những người được công bố trên các tạp chí kinh tế không nghiêm ngặt, ví dụ Tạp chí Tâm lý học toán học .

Lưu ý 2 : Có, tôi biết, loại công việc này hiếm hơn (không bị nhầm lẫn với tối nghĩa: một số trong đó được biết đến). Đó là những gì làm cho nó dễ dàng bỏ lỡ một tài liệu tham khảo như vậy khi nó được xuất bản. Do đó câu hỏi.

Tôi hoàn toàn nghi ngờ rằng một lĩnh vực quan trọng mới nổi cho các ứng dụng của lý thuyết đo lường sẽ nằm trong các kỹ thuật lập trình động gần đúng. Lập trình động gần đúng (hay còn gọi là "học tăng cường" trong tài liệu khoa học máy tính) là định hướng của công việc nghiên cứu trong ~ 10-20 năm qua của tài liệu lập trình động. Kinh tế chỉ mới bắt đầu áp dụng một số trong những tiến bộ này. Ví dụ về hướng của tài liệu DP, hãy xem bản mở rộng phiên bản thứ 4 gần đây nhất của Bertsekas trong sê-ri chương trình động của ông, hay DP gần đúng của Powell : Giải quyết lời nguyền về chiều. Các nhà kinh tế mới bắt đầu chọn một số công cụ này, cả trực tiếp và gián tiếp, và tôi nghi ngờ rằng chúng sẽ có tác động ngày càng tăng đối với tài liệu trong vài năm tới. Một số nền tảng phân tích để hội tụ các phương pháp này là cấu trúc liên kết và hệ thống động lực.

Một ví dụ điển hình về sự đóng góp về mặt lý thuyết cho loại tài liệu này từ các nhà kinh tế là Pál và Stachurski (2013), Lặp lại chức năng giá trị được lặp lại với các hợp đồng có xác suất (phiên bản không có điều kiện ở đây ). Hãy xem qua bài báo đó và bạn có thể thấy tầm quan trọng của việc nắm bắt tốt lý thuyết đo lường. Cuốn sách Động lực kinh tế của Stachurski thực sự là một giải trình rất hay về lập trình động từ quan điểm này, xây dựng ở một tốc độ phù hợp với nhiều cấp độ của sinh viên tốt nghiệp / chuyên nghiệp (lý thuyết đo lường chính thức đến cuối cùng tôi tin rằng - tôi vẫn đang làm việc những hiểu biết đó).

Hy vọng điều này trả lời câu hỏi của bạn ở một mức độ nào đó. Tôi sợ rằng cụm từ "toán học sau những năm 1960" có phần mơ hồ đối với tôi (do tôi không có kiến ​​thức về lịch sử văn học toán học), vì vậy nếu tôi hoàn toàn bỏ lỡ dấu hiệu, tôi xin lỗi!

Điều này là quá dài để bình luận. "Post 1960" dường như là một thanh tùy ý và rất cao cho một lĩnh vực ứng dụng, bao gồm cả lý thuyết vi mô. Hầu hết các chủ đề bạn đặt tên sẽ không được coi là toán học đương đại. Ví dụ, lý thuyết đo lường bắt đầu với luận án của Lebesgue và đã hơn một thế kỷ. Topology thậm chí còn cũ hơn và bắt đầu với Poincare, người đã giới thiệu các nhóm tương đồng. Cả hai đều được dạy cho sinh viên đại học ngày nay, giống như tính toán. (Toán học được Mas-Colell và cộng sự sử dụng trong GE là phân tích, thay vì cấu trúc liên kết.)

Tính chất bên ngoài của các chương trình nghiên cứu thúc đẩy toán học hiện đại từ giữa thế kỷ 20 đến với cộng đồng ứng dụng là gián tiếp. Quan điểm và kỹ thuật được thúc đẩy bởi, ví dụ, hình học không giao hoán, chương trình của Langland, phỏng đoán Poincare, phỏng đoán Baum-Connes, phỏng đoán nguyên tố đôi (huy chương Trường đã được trao sau năm 1960 cho những tiến bộ về những vấn đề này), v.v. --- có lẽ sẽ không bao giờ được nhìn thấy bên ngoài toán học. Tất nhiên, tài chính toán học vẫn là toán học nhưng điều đó hoàn toàn bị loại bỏ khỏi quan điểm kinh tế.

Chỉnh sửa Hóa ra, giải quyết trực tiếp câu hỏi của bạn, đã có những ứng dụng của cấu trúc liên kết vào lý thuyết lựa chọn xã hội, được khởi xướng bởi Chichilnisky, et. al. Đây là một bài báo JET về chủ đề của một nhà tô pô:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Có lẽ ai đó có chuyên môn về cấu trúc liên kết có thể bình luận thêm.

Không gian Loeb đã được sử dụng để mô hình hóa các tình huống với sự liên tục của các tác nhân. Xem http: // eml.ber siêu.edu / ~ anderson / Book.pdf và các chương của Sun về các ứng dụng kinh tế trong cuốn sách Phân tích phi tiêu chuẩn cho nhà toán học làm việc .

Lý thuyết đo lường được sử dụng rộng rãi trong bài toán phân chia công bằng (hay còn gọi là "cắt bánh"). Xem nhiều bài báo về sự công bằng trong các tạp chí kinh tế .

Để biết ví dụ cụ thể, xem Tatsuro Ichiishi và Adam Idzik, "Phân bổ công bằng hàng hóa chia hết", JME 1999 .

Bên cạnh công trình của Chichilnisky được đề cập bởi Michael, một cách sử dụng cấu trúc liên kết thú vị khác trong lý thuyết lựa chọn xã hội xuất hiện trong công trình của Redekop về định lý của Arrow về các lĩnh vực kinh tế.

• Redekop, J. (1991). Chức năng phúc lợi xã hội trên các lĩnh vực kinh tế hạn chế. Tạp chí lý thuyết kinh tế, 53, 396 trừ427.
• Redekop, J. (1993a). Mũi tên - lĩnh vực kinh tế không nhất quán. Lựa chọn xã hội và phúc lợi, 10, 107 Từ 126.
• Redekop, J. (1993b). Cấu trúc câu hỏi trên một số không gian của sở thích kinh tế. Tạp chí kinh tế toán học, 22, 479 Từ494.
• Redekop, J. (1993c). Chức năng phúc lợi xã hội trên các lĩnh vực tham số. Lựa chọn xã hội và phúc lợi, 10, 127 Hàng148.
• Redekop, J. (1995). Định lý mũi tên trong môi trường kinh tế. Trong WA Barnett, H. Moulin, M. Salles, & NJ Schofield (Eds.), Lựa chọn xã hội, phúc lợi và đạo đức (trang 163 Phản185). Cambridge: Nhà xuất bản Đại học Cambridge.
• Redekop, J. (1996). Định lý mũi tên trong hàng hóa hỗn hợp, ngẫu nhiên và môi trường kinh tế năng động. Lựa chọn xã hội và phúc lợi, 13, 95 Hàng112.

Định lý bất khả thi của Arrow ban đầu được chứng minh cho một tập hợp thay thế trừu tượng, cho phép mọi cấu hình ưu tiên có thể có trong tập hợp các lựa chọn thay thế này. Câu hỏi mà Redekop (và những người khác) đã hỏi là: có tương đương với định lý của Arrow không khi các lựa chọn thay thế là các gói hàng hóa và đại lý có sở thích "cổ điển" đối với các hàng hóa đó (đơn điệu, lồi, liên tục, ích kỷ, ...).

Chính xác hơn, câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại chức năng phúc lợi xã hội thỏa mãn ba tiên đề Arrovian (Độc lập thay thế không liên quan, Weak Pareto và Non-Dictatorship) trên các lĩnh vực kinh tế này hay không (xem Le Breton, Michel và John A. Weymark. " Chương Mười bảy - Lý thuyết lựa chọn xã hội của Arrovian về các lĩnh vực kinh tế. "Sổ tay lựa chọn xã hội và phúc lợi xã hội 2 (2011): 191-299 cho một đánh giá tuyệt vời, mà câu trả lời này dựa trên).

Một cách thô bạo, công việc của Redekop cho thấy, đối với một số vấn đề kinh tế đó, nếu một miền ưu tiên thừa nhận chức năng phúc lợi xã hội của Arrovian, thì miền đó phải "nhỏ" theo nghĩa tôpô. Chẳng hạn, trong Redekop (1991), ông giới thiệu một cấu trúc liên kết khéo léo về các bộ ưu tiên mà ông đặt tên là cấu trúc câu hỏi và cho thấy, trong nền kinh tế hàng hóa công cộng, nếu một miền ưu tiên thừa nhận chức năng phúc lợi xã hội của Arrovian, thì miền đó phải có nơi nào dày đặc theo topo này (tức là đóng cửa tên miền không chứa bộ mở).