Giúp hiểu số nhân Lagrangian?

Tôi đang cố gắng để hiểu hệ số nhân Lagrangian và sử dụng một vấn đề ví dụ tôi tìm thấy trên mạng.

Vấn đề thiết lập:

Hãy xem xét một người tiêu dùng có hàm tiện ích $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ , trong đó $\alpha \in (0,1)$ . Giả sử người tiêu dùng này có sự giàu có $w$ và giá $p =(p_x,p_y)$ . Đó là tất cả những gì chúng tôi đã được trao.

Công việc tôi đã làm:

Sau đó, tôi đã xác định một phương trình ràng buộc ngân sách: $w = xp_x + yp_y$ . Tôi cũng sau đó được xác định một Lagrangian liên quan cho vấn đề tối đa hóa của người tiêu dùng: $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ .

Câu hỏi của tôi:

Phương trình này cho phép tôi làm gì? Mặc dù tôi đã thiết lập nó theo công thức trên trang Wikipedia về số nhân Lagrangian, tôi thực sự không biết mục đích của phương trình này là gì. Giống như tôi không hiểu làm thế nào phương trình như đã cho phép tôi xác định cách tối đa hóa chức năng tiện ích của mình.

Lưu ý: Tôi quen thuộc với phép tính đa biến và Lagrangian ( $L = T -V$ ) trong vật lý, nhưng phương pháp này là mới đối với tôi.

Hàm tối ưu hóa bị ràng buộc tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa một đối tượng mục tiêu theo một hoặc nhiều ràng buộc. Theo tôi hiểu, cách tiếp cận số nhân Lagrangian biến vấn đề tối ưu hóa bị ràng buộc (I) thành vấn đề tối ưu hóa không bị ràng buộc (II) trong đó các giá trị điều khiển tối ưu cho vấn đề II cũng là giá trị điều khiển tối ưu cho vấn đề I. Ngoài ra, các hàm mục tiêu trong vấn đề I và II có cùng giá trị tối ưu. Bí quyết là một cách thông minh để đưa các ràng buộc vào hàm mục tiêu trực tiếp hơn là sử dụng chúng một cách riêng biệt.

Tôi đồng ý với trình bày của bạn về vấn đề tối đa hóa của người tiêu dùng: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Bây giờ chúng ta lấy các đạo hàm riêng đối với x an y, đặt chúng bằng 0 và sau đó giải cho x * và y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

(eqn 1)$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$

Khôi phục phương trình giới hạn ngân sách bằng cách lấy đạo hàm riêng .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$

Bây giờ chúng ta có hai phương trình và hai ẩn số (x, y) và có thể giải cho x * và y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

(kết quả 1)$\rightarrow \alpha = xp_x/w$

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$

$x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

$w$

1. $x$$y$
2. $w$$\lambda$
3. $x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. $\lambda$$w$$\lambda$
5. $\lambda$

$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

Sử dụng hệ số nhân Lgrange để tối ưu hóa một chức năng theo các ràng buộc là một kỹ thuật hữu ích , mặc dù cuối cùng, nó cung cấp thêm thông tin chi tiết và thông tin. Bám sát trường hợp ràng buộc bình đẳng, vấn đề

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

tất nhiên có thể được chuyển đổi trong một vấn đề không bị ràng buộc bằng cách thay thế trực tiếp:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Nhưng nói chung, sự thay thế trực tiếp có thể tạo ra các biểu thức cồng kềnh (đặc biệt là trong các vấn đề động), trong đó một lỗi đại số sẽ dễ dàng thực hiện. Vì vậy, phương pháp Lagrange có một lợi thế ở đây. Hơn nữa, hệ số nhân Lagrange có một giải thích kinh tế có ý nghĩa. Trong phương pháp này, chúng tôi xác định một biến mới, giả sử và chúng tôi tạo thành "hàm Lagrangean"$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

Đầu tiên, lưu ý rằng là tương đương với , kể từ khi phần thêm vào bên phải là giống nhau không. Bây giờ chúng tôi tối đa hóa Lagrangean đối với hai biến và chúng tôi có được các điều kiện đặt hàng đầu tiên$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Tương đương thông qua , điều này cung cấp nhanh chóng mối quan hệ cơ bản$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Mối quan hệ tối ưu này, cùng với ràng buộc ngân sách, cung cấp hệ thống hai phương trình trong hai ẩn số, và do đó cung cấp giải pháp dưới dạng hàm của các tham số ngoại sinh (tham số tiện ích , giá cả và sự giàu có đã cho ).$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

Để xác định giá trị của , nhân từng điều kiện bậc nhất trong suốt và tương ứng và sau đó tính tổng theo các cạnh để có được$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Với tính đồng nhất tiện ích của mức độ một, như trường hợp của các hàm Cobb-Douglas, chúng ta có điều đó

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

và vì vậy ở gói tối ưu chúng ta có

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

Và đây là cách hệ số nhân Lagrange có được một cách giải thích có ý nghĩa kinh tế: giá trị của nó là tiện ích cận biên của sự giàu có . Bây giờ, trong bối cảnh tiện ích thứ tự , tiện ích cận biên không thực sự có ý nghĩa (xem thêm phần thảo luận ở đây ). Nhưng quy trình trên có thể được áp dụng ví dụ cho bài toán tối thiểu hóa chi phí, trong đó hệ số nhân Lagrange phản ánh mức tăng tổng chi phí bằng cách tăng biên về số lượng sản xuất, và đó là Chi phí biên.

Tôi khuyên bạn nên thực hiện từng câu trả lời theo từng đoạn, đảm bảo rằng bạn lần lượt từng câu hỏi, nếu không bạn sẽ bị lẫn lộn. Bạn thậm chí có thể muốn bỏ qua những cái sau nếu nó không cần thiết cho mục đích của bạn.

Ý tưởng chính nghe được là nếu điểm đó là cực trị, thì nó nhất thiết phải là điểm dừng của Lagrangian, tức là điểm đó, rằng tất cả các dẫn xuất một phần của Lagrangian đều bằng không. Để giải quyết vấn đề, bạn nên xác định tất cả các điểm dừng và hơn là tìm tối đa trong số chúng.

Tuy nhiên, nói chung công thức này không đáng tin cậy, vì tối đa có thể không tồn tại. Thông thường bạn có thể xác minh sự tồn tại của nó với định lý Weierstrass. Nó đòi hỏi rằng tiểu thuyết là liên tục và bộ nhỏ gọn là trường hợp ở đây. Nói chung, điều đó có nghĩa là bạn cần kiểm tra bất kỳ điểm biên nào của tập hợp trong câu hỏi, điểm và điểm .$x= 0$$y = 0$

Trong trường hợp này phương trình của bạn không đủ cho giải pháp, vì tập hợp bạn đang xem xét được xác định bởi các bất đẳng thức chứ không phải là đẳng thức. Bạn có thể chỉ ra rằng hàm là đơn điệu theo và , vì vậy cực đại nằm ở ranh giới phía trên bên phải. Ngoài ra tiện ích là 0 nếu hoặc , trong khi có những điểm khả thi khi nó hoàn toàn tích cực, do đó không thể đạt được mức tối đa ở ranh giới bên trái hoặc bên dưới. Sau đó, cách tiếp cận này là hoàn toàn hợp lý.$x$$y$$x = 0$$y=0$

Trong tương lai, bạn nên biết rằng vấn đề nếu loại đó thường được giải quyết bằng cách áp dụng Định lý Kuhn-Tucker và tôi khuyên bạn nên làm quen với nó sau khi bạn nắm được tài liệu này.

Như những người khác đã lưu ý, bản chất của phương pháp Lagrange là chuyển đổi một vấn đề cực hạn bị ràng buộc thành một dạng sao cho có thể áp dụng FOC của bài toán cực trị tự do. Trong thiết lập của bạn, bạn đã chuyển đổi vấn đề không bị ràng buộc ( ) thành:$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

Nếu bạn cho rằng hạn chế sẽ được đáp ứng, nghĩa là , thì thuật ngữ cuối cùng sẽ biến mất độc lập với giá trị của , do đó sẽ giống hệt . Mẹo nhỏ là coi như một biến lựa chọn bổ sung, do đó tối đa hóa . Vì điều kiện đặt hàng đầu tiên cho là$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ chúng ta có thể yên tâm về sự hài lòng của ràng buộc và sự biến mất của .$\lambda$

Đối với cách giải thích của (hệ số nhân Lagrange), theo nghĩa kinh tế rộng, đó là giá bóng của ràng buộc thứ . Trong thiết lập của bạn, nơi chỉ có ràng buộc ngân sách, giá bóng là chi phí cơ hội của ràng buộc ngân sách, nghĩa là tiện ích cận biên của tiền ngân sách (thu nhập).$\lambda_i$$i$

Một cách khác để xem nó là đo độ nhạy của với những thay đổi trong ràng buộc (ngân sách). Trong thực tế có thể được chứng minh rằng$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

Chú ý rằng đối với cách giải thích này của có ý nghĩa bạn luôn phải thể hiện những hạn chế như , không như (như bạn đã viết vào thiết lập của bạn). w - ( x p x + y p y ) ( x p x + y p y ) - $\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$