Tìm hàm cầu được cung cấp hàm min (x, y) tiện ích

Tôi bối rối về một điểm đặc biệt liên quan đến việc tìm kiếm một hàm nhu cầu. Tất cả các vấn đề trong tập thực hành này tôi đang làm có liên quan đến việc áp dụng phương pháp nhân số Lagrangian. Nhưng tôi không chắc chắn nếu nó áp dụng ở đây cho vấn đề này.

Sự cố thiết lập

$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Công việc của tôi

Không có nhiều để làm. Tất cả những gì tôi đã làm là thiết lập một ràng buộc ngân sách $w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$ .

Sự nhầm lẫn của tôi

Tôi đã sẵn sàng thiết lập một phương trình số nhân Lagrangian thì đột nhiên tôi nhận ra rằng hàm tiện ích của mình là hàm $\min$ . Lúc đầu, tôi nghĩ chức năng này không khác biệt. Bây giờ, tôi nghĩ nó không khác biệt nhưng nó là một phần khác biệt. Tôi vẫn không chắc chắn.

Đoán của tôi

Tôi nghi ngờ có $\min$ là một phần khác biệt dựa trên chủ đề này

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Nhưng tôi nghi ngờ câu trả lời của tôi sẽ cần một thành phần piecewise hoặc một cái gì đó.

Câu hỏi của tôi

Là số nhân Lagrangian áp dụng ở đây? Nếu vậy, làm thế nào để tôi xác định Lagrangian theo thuật ngữ từng phần như tôi nghĩ tôi sẽ cần phải làm gì? Nếu nó không khác biệt, làm thế nào để lấy được hàm cầu được cung cấp hàm hoặc ?$\min$$\max$

Không, bạn không nên sử dụng số nhân Lagrange ở đây, nhưng suy nghĩ âm thanh. Giả sử , nói cho sự cụ thể . Đặt . Sau đó Vì vậy, người tiêu dùng có thể giảm mức tiêu thụ 2 tốt của cô ấy, mà không tệ hơn. Mặt khác, đối với tất cả , chúng ta sẽ có , vì vậy người tiêu dùng có thể tốt hơn bằng cách giảm mức tiêu thụ của hàng hóa thứ hai và tiêu tiền được giải phóng vào hàng hóa thứ nhất. Trong một tối ưu, người tiêu dùng không thể cải thiện nên sự tối ưu đòi hỏi . Rõ ràng là người tiêu dùng cải thiện dọc theo$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$Tia 45 °. Vì vậy, bạn có thể chỉ cần sử dụng làm điều kiện tối ưu để được thay thế vào ràng buộc ngân sách của bạn và bỏ qua hệ số nhân Lagrange.$x=y$