Khi nào một người nhận nên ngẫu nhiên hóa các hành động trong một trò chơi báo hiệu?

Giả sử có một trò chơi truyền tín hiệu với một không gian thông điệp hữu hạn $M$ , hữu hạn hành động không gian $A$ , và hữu hạn kiểu không gian $T$ . Thậm chí đơn giản hơn, tất cả các loại người gửi đều có sở thích giống hệt nhau (người nhận chỉ thích các hành động khác nhau để đáp ứng với các loại khác nhau). Người nhận có thể làm tốt hơn bằng cách ngẫu nhiên giữa các câu trả lời không? Khi trạng thái cân bằng tồn tại mà người nhận chỉ thực hiện các hành động thuần túy?

Ubiquitous đã tóm tắt câu hỏi của tôi một cách độc đáo, "Có bao giờ trường hợp cân bằng với mức chi trả cao nhất của người nhận nhất thiết phải liên quan đến các chiến lược hỗn hợp không?"

Hãy đi với trạng thái cân bằng tuần tự. Nếu bạn muốn một số ký hiệu để bắt đầu.

$\sigma_{t}(m)$ là xác suất mà$t\in T$ gửi$m\in M$ .

$\sigma_R^m(a)$ là xác suất mà người nhận phản ứng với$m$ với$a\in A.$ $\mu^m \in \Delta T$ cho niềm tin của người nhận sau khi quan sát$m$ .

Một trạng thái cân bằng tuần tự đòi hỏi $\sigma_t$ cho phản ứng tối ưu cho $\sigma_R$ , $\sigma_R$ là được tối ưu $\mu$ và $\mu$ là Bayesian cho $\sigma$ . Đây thực sự là định nghĩa của một tuần tự yếu, nhưng không có sự phân biệt trong một trò chơi báo hiệu.

Trực giác của tôi nói không khi tồn tại trạng thái cân bằng trong đó người nhận chỉ đóng những hành động thuần túy, nhưng tôi luôn thấy kinh khủng với những thứ này. Có lẽ chúng ta cũng phải quy định rằng đó không phải là một trò chơi có tổng bằng 0, nhưng tôi chỉ nói điều đó bởi vì tôi nhớ người chơi sẽ tốt hơn với khả năng chọn ngẫu nhiên trong các trò chơi đó. Có lẽ đây là một chú thích trong một bài báo ở đâu đó?

Hãy xem xét các trò chơi dưới đây, nơi sở thích của người gửi không giống nhau. Tôi xin lỗi vì chất lượng thấp. Có ba loại người gửi, mỗi loại có khả năng như nhau. Chúng ta có thể tạo ra thứ mà tôi tin là trạng thái cân bằng tối ưu của người nhận (người chơi 2) chỉ khi họ ngẫu nhiên hóa khi nhận được tin nhắn 1. Sau đó, loại 1 và 3 sẽ chơi , tạo ra trạng thái cân bằng riêng biệt. Nếu người nhận sử dụng chiến lược thuần túy để đáp ứng với m 1 , thì loại 1 hoặc 2 sẽ sai lệch và khiến người nhận trở nên tồi tệ hơn.$m_2$$m_1$

$\sigma_R^{m_1}(a)=.5=\sigma_R^{m_1}(r)=.5$

Có lẽ tôi có một ví dụ!

$m_1, m_2,$$m_3$$t_1,t_2,t_3$$\Pr(t=t_3)=\frac{1}{2}-\epsilon$$\Pr(t=t_2)=\frac{1}{4}$$\Pr(t=t_1)=\frac{1}{4}+\epsilon$$m_3$$0$

Tập hợp các phản hồi của người nhận đối với tin nhắn là$m=m_1,m_2$$\{a,r\}$

$u_t(a,m_1)=1 > u_t(a,m_2)=\beta>u_t(r,\cdot)=0$

$u_R(t_1,m_1,a)=u_R(t_2,m_2,a)=2$ , ,$u_R(t_3,m_i,a)=1$

$u_R(t_2,m_1,a)=u_R(t_2,m_1,a)=0$ , ,$u_R(t_3,m_i,r)=2$

$u_R(t_1,m_i,r)=u_R(t_2,m_i,r)=1$ .

Sau đó ở trạng thái cân bằng, tất cả người gửi phải có được cùng một tiện ích, đúng không?. Nếu không, người ta sẽ bắt chước chiến lược của người kia.

Vì vậy, trạng thái cân bằng chiến lược thuần túy duy nhất là cho tất cả người gửi chọn . Trong trạng thái cân bằng gộp trên hoặc , phản hồi tốt nhất là chọn . Không có chiến lược thuần túy nào phân tách trạng thái cân bằng trừ khi và gửi và người nhận trả lời bằng . Sau đó, không phân biệt giữa tất cả các tin nhắn, bởi vì anh ta chắc chắn sẽ được trả bằng . Tất cả những điều này mang lại cho người nhận tiền thưởng$m_3$$m_1$$m_2$$r$$t_1$$t_2$$m_2$$r$$t_3$$0$$\frac{3}{2}-\epsilon$

Sau đó xem xét trường hợp vàBây giờ, người gửi không quan tâm giữa việc gửi hai tin nhắn đó. Sau đó, chúng ta hãy và cho . Sau đó, chiến lược thu là hợp lý.$\sigma_R^{m_1}(a)=\beta$$\sigma_R^{m_2}(a)=1.$$\sigma_{t_3}(m_1)=\frac{\epsilon+1/4}{-\epsilon+1/2}=1-\sigma_{t_3}(m_1)$$\sigma_{t_i}(m_i)=1$$i=1,2$

Tiện ích dự kiến ​​của người nhận từ được cho hoặc là 1,5. Tiện ích dự kiến ​​từ hơi cao hơn 1,5, được cung cấp . Vì vậy, tỷ lệ hoàn trả dự kiến ​​trước đây là trên , tốt hơn so với trạng thái cân bằng thuần túy được mô tả ở trên. Hơn nữa, sự tách biệt này chỉ được duy trì bằng cách trộn. Bất kỳ chiến lược thuần túy nào khác được thực hiện bởi người nhận sẽ tạo ra nhóm người gửi, nghĩa là trạng thái cân bằng chiến lược thuần túy duy nhất là khi người nhận chọn .$m_1$$a$$r$$m_2$$a$$\frac{3}{2}-\epsilon$$r$

Tôi nên có s trong hình bên dưới để hoàn trả cho người gửi bên trái cho . Tôi nghĩ rằng là thành phần chính.$\beta$$a$$\beta<1$

Tôi nghĩ điều này không thể xảy ra với những người gửi không thích rủi ro, người nhận trung lập rủi ro và đủ giàu.$A$

Ví dụ, và để dính vào các mô hình tín hiệu kinh điển, giả sử rằng là dòng thực dương và tiện ích của người gửi đang tăng lên trong thời gian của người nhận có tiện ích tuyến tính giảm trong .$A$$u$$a$$a$

(Phải thừa nhận rằng đây chỉ là một câu trả lời một phần vì khung này ít chung chung hơn câu hỏi của bạn, vì vậy nó có thể không thỏa đáng với bạn. Tôi vẫn cung cấp một lập luận trong trường hợp bạn ổn với những giả định này)

Để lấy được một mâu thuẫn, giả sử rằng ở một trạng thái cân bằng và đối với một số . Để cho$\sigma^m_R(a') > 0$$\sigma^m_R(a'') > 0$$a' \neq a'' \in A$

$$a''' \equiv \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a' + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a''.$$

Do sợ rủi ro

$$u[ a''' ] > \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a') + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a'').$$ $$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a''' ) > \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$$

Theo một số giả định liên tục, cũng phải tồn tại

$$a '''' < a'''$$

như vậy mà

$$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a'''' ) = \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$$

Vì vậy, hãy xem xét xây dựng theo cách sau$\sigma^m_R{'}$

• $\sigma^m_R{'}(a') = \sigma^m_R{'}(a'') = 0$ ,
• $\sigma^m_R{'}(a'''') = \sigma^m_R(a'''') + [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')]$
• Đối với tất cả các ,$\tilde{a}$$\sigma^m_R{'}(\tilde{a}) = \sigma^m_R(\tilde{a})$

Người nhận sẽ thích hơn nếu nó không làm thay đổi tín hiệu được gửi bởi người gửi, vì nó liên quan đến việc bù dự kiến ​​thấp hơn. Nhưng bằng cách xây dựng, người gửi không phân biệt giữa và , vì vậy họ nên gửi các tín hiệu giống như trong . Do đó, không thể là trạng thái cân bằng cho thấy chúng ta không thể có hai hành động khác nhau được chơi với xác suất dương ở trạng thái cân bằng.$\sigma^m_R{'}$$\sigma^m_R$ $\sigma^m_R{'}$$\sigma^m_R$$\sigma^m_R$$\sigma^m_R$