Một ví dụ về chức năng tiện ích trong đó một hàng hóa kém hơn là gì?

Giả sử người tiêu dùng có sở thích lồi, đơn điệu tiêu chuẩn so với Táo và Chuối.

(Cập nhật: Tôi muốn ưu tiên là 'tiêu chuẩn' nhất có thể. Vì vậy, lý tưởng nhất là chúng tôi đã giảm MRS ở mọi nơi và chúng tôi cũng có "nhiều hơn là tốt hơn" ở mọi nơi.)

Nói sở thích của anh ta có thể được đại diện bởi một số chức năng tiện ích . Anh ta phải đáp ứng một số ràng buộc ngân sách , trong đó là thu nhập của anh ta. $u(A,B)$ $p_AA+p_BB=y$ $y$

Vậy thì ví dụ về hàm tiện ích trong đó $\frac{\partial A}{\partial y}<0$ , ít nhất là trong một số trường hợp?

Đây dường như là một câu hỏi rất đơn giản nhưng trong một thời gian ngắn, tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì.

utility preferences

— Kenny LJ
nguồn

Câu trả lời:

Một điều tốt không thể thua kém trong toàn bộ phạm vi thu nhập.

Bài viết Chức năng tiện ích tiện lợi với hành vi Giffen cho thấy rằng đối với người có tiện ích có dạng:

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

X kém hơn nếu và dương, và trong miền và . $\gamma_x$ $\gamma_y$ $0<\alpha_1<\alpha_2$ $x>\gamma_x$ $0\leq y<\gamma_y$

Cập nhật: Nếu ngân sách là , như vậy cho là ~~kém~~ dính tốt . Nhận ra đây thực sự là một độ co giãn thu nhập bằng không chứ không phải là âm nên nó không hề thua kém.

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

Tôi đã tìm thấy một hình thức chức năng thú vị khác cho một chức năng tiện ích trong đó một hàng hóa kém hơn nhưng nó cũng làm tăng tiện ích cận biên của hàng hóa khác: Một hàng hóa kém hơn và Bản đồ không phân biệt tiểu thuyết

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ Hàm đó đưa ra một bản đồ lãnh đạm điên rồ.

Ví dụ kinh điển đối với tôi về hàng hóa kém chất lượng là những thứ như thực phẩm rẻ tiền, trong đó thực phẩm ngon mà đắt hơn nhiều vì nó có một ràng buộc bổ sung (dung tích dạ dày) cuối cùng bị ràng buộc. Có thể dễ dàng đưa ra một ví dụ trong đó sự thấp kém là hậu quả của ràng buộc thứ hai này hơn là chức năng tiện ích.

Cập nhật với một ví dụ khác:

Bài viết Trường hợp của một Tốt (Spiegel (2014)) cho thấy rằng đối với một người có tiện ích có dạng: trong đó và là các giá trị không đổi và dương.

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

Nhưng như trong các chức năng trên, chức năng tiện ích này đã tăng MU trong một hàng hóa (Y). Điều này rõ ràng là phổ biến trong cài đặt Giffen:

Trong trường hợp chức năng tiện ích phụ gia trong đó các tiện ích cận biên của tất cả hàng hóa đang giảm dần với mức tiêu thụ hàng hóa, nghĩa là, lợi ích cận biên của thu nhập đang giảm dần, tất cả hàng hóa đều bình thường và thay thế cho nhau. Tuy nhiên, nếu đối với một số mặt hàng tốt (trong trường hợp của chúng tôi, Y tốt) thì tiện ích cận biên là tích cực và tăng lên và đối với các mặt hàng khác, tiện ích cận biên (()) đang giảm dần (trong trường hợp của chúng tôi, X tốt), thì tiện ích cận biên của thu nhập ngày càng tăng. Hàng hóa thể hiện tiện ích cận biên ngày càng tăng là hàng hóa xa xỉ, trong khi hàng hóa thể hiện tiện ích cận biên giảm dần là hàng hóa kém. Những đặc điểm này đã được chứng minh bởi Liebhafsky (1969) và Silberberg (1972) và wen: được sử dụng để phát triển chức năng tiện ích ở trên minh họa cho trường hợp của hàng hóa Giffen.

— BKay
nguồn

Một vấn đề với chức năng này là đây không phải là một chức năng tiện ích tiêu chuẩn. Như chính tác giả viết, "trong trường hợp Y tốt, tiện ích cận biên tăng lên khi tiêu thụ nhiều hơn".

— Kenny LJ

Nếu bạn có thêm các yêu cầu về hình thức chức năng, tôi khuyên bạn nên thêm chúng vào câu hỏi của mình để cải thiện chất lượng câu trả lời bạn nhận được.

— BKay 15/2/2015

Tôi đã làm: Tôi đã nói rằng các ưu tiên phải được lồi.

— Kenny LJ

Vì vậy, bạn đã làm, xin lỗi.

— BKay 15/2/2015

Hãy để chúng tôi tiếp tục cuộc thảo luận này trong trò chuyện .

— BKay 15/2/2015

Chúng ta hãy xem những gì thấp kém của một hàng hóa trong trường hợp hai tốt ngụ ý. Tra cứu "Cấu trúc kinh tế" của Silberberg (vẫn là một trong những sách giáo khoa kinh tế vi mô tốt nhất từng được viết), ch. 10 để biết thêm chi tiết.

Tối đa hóa tiện ích được mô tả bởi (sao biểu thị mức tối ưu)

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

và lưu ý việc sử dụng biểu tượng nhận dạng thay vì bình đẳng đơn giản - các mối quan hệ này luôn giữ ở mức tối ưu. Sau đó chúng ta có thể phân biệt cả hai bên và duy trì danh tính. Làm điều đó và giải hệ phương trình để xác định các đạo hàm khác nhau và bạn sẽ thấy rằng nếu tốt kém hơn, , thì chúng ta phải có cái đó $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

Nếu chúng tôi sẵn sàng chấp nhận , thì một phần có thể bằng 0 và chúng tôi có thể có một hàm tiện ích như câu trả lời được đề cập trong câu trả lời của @BKay. $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

Nhưng nếu chúng ta muốn duy trì , thì đó phải là trường hợp , đạo hàm một phần của hàm tiện ích cũng phải hoàn toàn âm (và vì vậy không phải là 0). Điều này lần lượt ngụ ý các sở thích không thể tách rời , cộng hoặc nhân. $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

Có lẽ bạn có thể xem xét một cái gì đó như

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

và cả bốn thông số dương. Ví dụ: đối với các giá trị, bản đồ không phân biệt là $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Giả thuyết của tôi là với bạn có thể có tất cả các thiết lập tiêu chuẩn cùng với sự thấp kém của (và đối với các giá trị phù hợp của giá cả và các thông số khác tất nhiên). Tìm các điều kiện thứ tự đầu tiên, thay thế theo trong ràng buộc ngân sách và sử dụng định lý hàm ẩn để xác định các điều kiện trên các tham số cần thiết cho . Và đừng quên kiểm tra xem các điều kiện này có tương thích với các điều kiện bậc hai để tối đa hóa tiện ích hay không. $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

NHẬN XÉT Ngày 7 tháng 10 năm 2015
Một số ý kiến trong câu trả lời này dường như làm tôi bối rối về vấn đề đại diện ưu tiên và duy trì thứ hạng ưu tiên theo các biến đổi đơn điệu, với đặc tính "kém hơn" là tốt. Tùy chọn và đại diện của chúng không liên quan gì đến sự tồn tại của ràng buộc ngân sách. Mặt khác, "mặc cảm" có tất cả mọi thứ để làm với sự tồn tại của một giới hạn ngân sách, và làm thế nào nó ảnh hưởng đến sự lựa chọn ( không ưu tiên) như nó thay đổi.

Và truyền máu đơn điệu không để mọi thứ "không thay đổi". Hãy xem xét hàm tiện ích và phép biến đổi đơn điệu của nó . Người ta có thể dễ dàng thấy rằng trong khi , chúng ta có . Nói cách khác, các phép biến đổi đơn điệu có thể duy trì thứ hạng của các bó, nhưng điều này không có nghĩa là chúng có cùng quan hệ giữa các hàng hóa. Và như tôi đã viết ở trên, thuộc tính "thấp kém" phụ thuộc vào các dấu hiệu và cường độ tương đối của các đạo hàm riêng thứ hai của hàm tiện ích được sử dụng, các dấu hiệu và cường độ tương đối phụ thuộc vào dạng chức năng thực tế được sử dụng. $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Không đưa ra cùng một thứ tự ưu tiên cho các gói như ? Đó chỉ là sở thích giống Cobb-Douglas sau khi bạn ghi nhật ký, điều này không thể hiện sự thấp kém mà là cổ phiếu ngân sách không đổi.

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

— BKay

Các chức năng tiện ích Cobb-Douglas của BKay đại diện cho các sở thích riêng biệt. Như tôi đã viết trong câu trả lời của mình, điều cần thiết (mặc dù không đủ) là không có khả năng tách biệt, để có thể có sự thấp kém. Và dạng chức năng cụ thể này, không giống như các dạng Cobb-Douglas, có đặc tính không tách rời này. Không có logarit, nó không. Tôi để nó cho bất cứ ai quan tâm để khám phá thêm.

— Alecos Papadopoulos

Chỉ cần chỉ ra, như @Bkay đã làm, là một phép biến đổi đơn điệu của . Vì vậy, cả hai đại diện cho cùng một sở thích.

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

— Kenny LJ

@KenyLJ Điều quan trọng đối với câu hỏi của bạn, đó là về các hình thức chức năng có thể phản ánh sự thấp kém, là liệu hình thức chức năng có được đặc trưng bởi khả năng phân tách hay không, (nếu muốn duy trì giảm các dẫn xuất thứ hai của chức năng tiện ích).

— Alecos Papadopoulos

Alecos, nó là tâm trí. Những gì bạn đang nói là một người có cùng sở thích (chính là họ, vì đó là biến đổi đơn điệu) có thể chọn các gói tiêu thụ khác nhau, tùy thuộc vào cách bạn sẽ viết chức năng tiện ích của cô ấy. Làm ơn ...

Nó là khá khó khăn để có được các mô hình dễ điều khiển với các thuộc tính hợp lý / thực tế. Một trường hợp -goods chung được đưa ra bởi Sørensen trong Heijman et al. (2012) , tr. 100-3. Một ví dụ khác, đối với hai hàng hóa và với tên miền hạn chế, được đưa ra bởi Haagsma (2012) . Kiểm tra các tài liệu tham khảo trong đó là cách dễ nhất để có được một bộ sưu tập đáng kể các chức năng tiện ích cho hàng hóa kém chất lượng - mặc dù có vẻ như có nhiều tài liệu về hàng hóa Giffen hơn so với những sản phẩm kém chất lượng hơn. $n$

Về các cuộc thảo luận trước đây về độ lồi của các ưu tiên, các hàm tiện ích mang lại các hàm nhu cầu khác nhau khi chuyển đổi đơn điệu dương không phải là quasiconcave và do đó, các ưu tiên không bị lồi, do quasiconcavity được bảo tồn với bất kỳ thành phần không tăng nào. Chức năng mà Alecos Papadopoulos đề xuất không phải là Cobb-Douglas nên dễ thấy.
Tuy nhiên, nếu đó là quasiconcave, thì sẽ mang lại các hàm cầu giống nhau (và cùng hiệu ứng giá và thu nhập) như trong đó là dương chuyển đổi đơn điệu, bất kể có thể phân tách yếu hay không. Một cảnh báo: thận trọng cho các hiệu ứng trên miền. $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

— dugo
nguồn