Làm cách nào tôi có thể có được chức năng sản xuất Leontief và Cobb-Douglas từ chức năng CES?

Trong hầu hết các sách giáo khoa Kinh tế vi mô, người ta đã đề cập rằng hàm sản xuất Độ co giãn thay thế (CES) không đổi,

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(nơi Co giãn thay thế là $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$), có như giới hạn của nó cả chức năng sản xuất Leontief và một Cobb-Douglas. Đặc biệt,

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

và

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Nhưng họ không bao giờ cung cấp bằng chứng toán học cho những kết quả này.

Ai đó có thể vui lòng cung cấp những bằng chứng này?

Ngoài ra, hàm CES ở trên kết hợp giữa lợi nhuận không đổi theo tỷ lệ (tính đồng nhất của mức một), do số mũ bên ngoài là . Nếu là, nói , thì mức độ đồng nhất sẽ là . $-1/\rho$$-k/\rho$$k$

Các kết quả giới hạn bị ảnh hưởng như thế nào nếu ?$k\neq 1$

Các bằng chứng tôi sẽ trình bày dựa trên các kỹ thuật có liên quan đến thực tế là hàm sản xuất CES có dạng trung bình có trọng số tổng quát .
Điều này đã được sử dụng trong bài báo gốc nơi chức năng CES được giới thiệu, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961). Thay thế vốn lao động và hiệu quả kinh tế. Tạp chí Kinh tế và Thống kê, 225-250.
Các tác giả ở đó đã giới thiệu độc giả của họ đến cuốn sách Hardy, GH, Littlewood, JE, & Pólya, G. (1952). Bất bình đẳng , chương .$2$

Chúng ta xem xét trường hợp tổng quát

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Giới hạn khi $\rho \rightarrow \infty$
Vì chúng ta đang quan tâm đến giới hạn khi chúng ta có thể bỏ qua những khoảng thời gian mà ρ ≤ 0 , và điều trị ρ như Nghiêm tích cực.$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Không mất tính tổng quát, giả sử . Chúng ta cũng có K , L > 0 . Sau đó, chúng tôi xác minh rằng bất bình đẳng sau đây giữ:$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

bằng cách tăng suốt đến quyền get$\rho/k$

mà thực sự nắm giữ, rõ ràng, đưa ra các giả định. Sau đó quay lại phần tử đầu tiên của(1)và

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ $(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

mà kẹp giữa kỳ từ đến ( 1 / L k ) , vì vậy$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Vì vậy, với chúng ta có được hàm sản xuất Leontief cơ bản.$k=1$

2) Giới hạn khi $\rho \rightarrow 0$
Viết hàm sử dụng hàm mũ như

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Hãy xem xét việc mở rộng Maclaurin theo thứ tự đầu tiên (mở rộng Taylor tập trung ở mức 0) của thuật ngữ bên trong logarit, liên quan đến :$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Chèn lại vào và loại bỏ số mũ bên ngoài,$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

Trong trường hợp nó là đục, xác định và viết lại$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Bây giờ nó trông giống như một biểu thức có giới hạn ở vô cực sẽ cho chúng ta một cái gì đó theo cấp số nhân:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

Mức độ đồng nhất của hàm được bảo toàn và nếu k = 1, chúng ta có được hàm Cobb-Douglas.$k$$k=1$

Đó là kết quả cuối cùng này khiến mũi tên và Co để gọi sự "phân phối" tham số của hàm CES.$a$

Phương pháp thường xuyên để có được Cobb-Douglas và Leotief là quy tắc của L'Hôpital .

Một phương pháp khác cũng nên được sử dụng. Setting sẽ trở lại Q = [ một K - ρ + ( 1 - một ) L - ρ ] - $\gamma=1$ và Q-ρ=[mộtK-ρ+(1-một)L-ρ] By Tổng phái sinh thông qua chênh lệch chúng tôi sẽ có -ρQ-ρ-1dQ=-mộtρK-ρ-1dK-(1-một)ρL-ρ-1d$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$ Với một số thao tác phương trình chính của chúng tôi sẽ thu được.

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$