Mở rộng cân bằng Nash cho các trò chơi với chiến lược vô hạn

Trong sách giáo khoa Jehle và Reny (mà tôi nên thêm tôi chưa đọc nhiều về một số phần quan tâm), một định lý cho biết luôn có một trạng thái cân bằng Nash (hỗn hợp) trong các trò chơi chiến lược hữu hạn được chứng minh. Cuốn sách giả định rằng tất cả người chơi có cùng số lượng hành động khả dụng, nhưng không khó để tưởng tượng làm thế nào điều này có thể được mở rộng cho trường hợp điều này không đúng.

Tuy nhiên, điều tôi quan tâm là liệu có phần mở rộng này cho các trò chơi hay không, đặc biệt là những trò chơi có thể có những lựa chọn vô hạn. Chẳng hạn, rõ ràng không có trạng thái cân bằng trong trò chơi mà người chơi thắng bằng cách chọn số cao nhất, nhưng nếu chúng ta có cùng một trò chơi, nhưng trong đó số phải nằm trong khoảng (hoặc bất kỳ khoảng nào có chứa giới hạn trên của nó), các hàm phản hồi tốt nhất "hội tụ". Tương tự, tôi cũng sẽ nghi ngờ rằng cần phải có các hàm chi phí và nhu cầu "hành xử tốt" trong các mô hình cạnh tranh để có kết quả "tốt".$[0, 100]$

Như vậy, tôi có hai câu hỏi:

1. Có bất kỳ loại thiết lập nào được xác định rõ trong đó một trò chơi với các lựa chọn chiến lược vô hạn sẽ có trạng thái cân bằng Nash không?

2. Điều gì có liên quan đọc cho điều này là?

Vâng, có một thiết lập như vậy. Kết quả là

Nếu không gian chiến lược của mỗi người chơi là

• lồi

• gọn nhẹ

và nếu số tiền chi trả liên tục thì tồn tại ít nhất một trạng thái cân bằng Nash (có thể trong các chiến lược hỗn hợp).

Điều này giữ ngay cả khi tập hợp các hành động có thể là vô hạn vô hạn. Nếu người ta giả định rằng tiền chi trả là quasiconcave thì sự tương ứng đáp ứng tốt nhất sẽ được lồi ngay cả khi chúng ta hạn chế chú ý đến các chiến lược thuần túy để sau đó chúng ta được đảm bảo có ít nhất một điểm cân bằng trong các chiến lược thuần túy trong trò chơi đó.

Tôi tin rằng tài liệu tham khảo ban đầu ở đây là

• IL Glicksberg. " Một khái quát hơn nữa của định lý điểm cố định Kakutani, với việc áp dụng cho các điểm cân bằng Nash ." Kỷ yếu của Hội Toán học Hoa Kỳ , 3 (1): 170 Từ174, 1952.

Tuy nhiên, việc điều trị trong bài báo của Glicksberg dường như không dễ tiếp cận. Một tài liệu tham khảo khởi đầu tốt có nhiều khả năng là phần 1.3 của cuốn sách "Lý thuyết trò chơi" của Fudenberg & Tirole .

Mặc dù sự gọn nhẹ và độ lồi vẫn cần thiết, nhưng tài liệu tham khảo sau đây liên quan đến sự tồn tại trong các trò chơi không gian vectơ với một số loại không liên tục nhất định.

• Reny, P. (1999) "Về sự tồn tại của chiến lược thuần túy và hỗn hợp Cân bằng Nash trong các trò chơi không liên tục", Kinh tế lượng 67, 1029-1056