Khi nào người ta có thể nói một cách an toàn về việc giảm tiện ích cận biên?

9

Một điều tôi nghe nhiều là nói về việc giảm tiện ích cận biên. Ý tưởng là các đơn vị hàng hóa bổ sung dần dần trở nên kém hấp dẫn hơn khi có nhiều đơn vị của hàng hóa tốt hơn.

$u(x)$ $u'(x),\ u''(x)<0$ $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$ (nhưng bây giờ có tiện ích cận biên không đổi). Do đó, trong một thế giới với một hàng hóa duy nhất, dường như không bao giờ có ý nghĩa để nói về việc giảm bớt tiện ích cận biên.

Câu hỏi của tôi là: xem xét một thị trường có hàng hóa. Có một điều kiện chính thức theo đó chúng ta có thể nói một cách an toàn về việc giảm tiện ích cận biên không? Điều đó có nghĩa là, có một lớp ưu tiên sao cho mọi đại diện tiện ích hợp lệ, , có cho một số không? $L>1$ $u(\mathbf{x})$ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ $i$

Ngoài ra, có một số bằng chứng đơn giản rằng, đối với , sự tồn tại của biểu diễn tiện ích với đối với một số nhất thiết ngụ ý rằng tất cả các biểu diễn tiện ích đều có ? $L>1$ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ $i$ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$

— Ubiquitous
nguồn

Dittmer (2005) thảo luận về điều này một số chi tiết. Ở cấp độ giới thiệu, chúng tôi dạy sinh viên rằng có một thứ gọi là "tiện ích cận biên giảm dần" (DMU), đòi hỏi tiện ích đó là một khái niệm chính. Sau đó, ở cấp độ trung cấp và sau đại học, tiện ích đột nhiên trở thành một khái niệm thứ tự, nơi không thể có thứ gọi là DMU. Và do đó, khi đi từ giới thiệu đến trung cấp, có một sự không nhất quán rất lớn. Sự không nhất quán này thường không được chú ý bởi hầu hết các học sinh và do đó không được giáo viên giải thích.

— Kenny LJ

7

Khái niệm "tiện ích cận biên" (và do đó giảm như vậy) chỉ có ý nghĩa trong bối cảnh của tiện ích hồng y .

Giả sử chúng ta có một chỉ số tiện ích thứ tự , trên một hàng hóa duy nhất và ba số lượng hàng hóa này, , với . Sở thích được xử lý tốt và đáp ứng các điều kiện thường xuyên chuẩn, vì vậy $u()$ $q_1<q_2<q_3$ $q_2-q_1 = q_3-q_2$

u (q_{1}) < u (q_{2}) < u (q_{3})

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

Đây là thứ tiện ích. Chỉ có thứ hạng là có ý nghĩa, không phải là khoảng cách. Vì vậy, khoảng cách và không có giải thích về hành vi / kinh tế . Nếu họ không, các tỷ lệ cũng không $u(q_2) - u(q_1)$ $u(q_3) - u(q_2)$

\frac{u (q_{2}) - u (q_{1})}{q_{2} - q_{1}}, \frac{u (q_{3}) - u (q_{2})}{q_{3} - q_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

Nhưng giới hạn của các tỷ lệ này khi mẫu số về 0 sẽ là định nghĩa về đạo hàm của hàm . Vì vậy, đạo hàm không có sự giải thích về kinh tế / hành vi và do đó, việc so sánh hai trường hợp của hàm phái sinh sẽ không tạo ra bất kỳ nội dung có ý nghĩa nào. $u()$

Tất nhiên điều này không có nghĩa là các đạo hàm của không tồn tại dưới dạng các khái niệm toán học. Chúng có thể tồn tại, nếu thỏa mãn các điều kiện cần thiết cho sự khác biệt. Vì vậy, người ta có thể đặt câu hỏi toán học thuần túy "trong điều kiện nào hàm đại diện cho tiện ích thứ tự có đạo hàm thứ hai hoàn toàn âm " (hoặc Hessian xác định phủ định cho trường hợp đa biến), cố gắng không hiểu nó là "giảm tiện ích cận biên" với nội dung kinh tế / hành vi , nhưng chỉ là một thuộc tính toán học có thể đóng vai trò nào đó trong mô hình mà anh ta kiểm tra. $u()$ $u()$

Trong trường hợp như vậy, chúng ta biết rằng:
1) Nếu tùy chọn là lồi, chỉ số tiện ích là hàm gần như lõm
2) Nếu tùy chọn là lồi hoàn toàn, chỉ mục tiện ích hoàn toàn lõm

Nhưng quasi-concavity là một loại tài sản khác với concavity: quasi-concavity là một thuộc tính "thứ tự" theo nghĩa là nó được bảo tồn dưới sự biến đổi ngày càng tăng của hàm.

Mặt khác, tính đồng nhất là một tài sản "hồng y", theo nghĩa là nó không nhất thiết phải được bảo tồn dưới sự biến đổi ngày càng tăng.
Xem xét điều này ngụ ý gì: giả sử rằng chúng ta tìm thấy một đặc tính của các sở thích sao cho chúng có thể được biểu thị bằng một chỉ mục tiện ích được lõm như một hàm. Sau đó, chúng ta có thể tìm và thực hiện một số chuyển đổi ngày càng tăng của chỉ số tiện ích này, điều đó sẽ loại bỏ thuộc tính concavity.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

4

Việc bạn hỏi về "sự an toàn" ngụ ý rằng bạn tin rằng một số kết quả đang gặp nguy hiểm. Câu trả lời này có thể được cải thiện nếu bạn có thể chỉ định một kết quả mà bạn có thể có trong đầu. Mặt khác, lấy ví dụ về các định lý phúc lợi thứ nhất và thứ hai. Họ không dựa vào việc giảm tiện ích cận biên.

Nếu bạn lo ngại về kết quả về các ưu tiên không chắc chắn (ý tưởng về ác cảm rủi ro, v.v.) thì hãy nhớ lại rằng mặc dù biểu diễn chức năng tiện ích tiêu chuẩn mà không chắc chắn là duy nhất cho phép chuyển đổi đơn điệu tích cực, đại diện cho chức năng tiện ích Von Neumann-Morgenstern sở thích trên sự không chắc chắn là duy nhất cho đến các biến đổi affine tích cực .

EDIT: Ghi chú thêm.

Định nghĩa về chức năng tiện ích được đưa ra như sau (từ Lý thuyết kinh tế vi mô nâng cao của Jehle và Reny, 2011): nhập mô tả hình ảnh ở đây

— jmbejara
nguồn