Các ứng dụng / khái quát hóa một định lý của Debreu

Tôi muốn biết định lý cuối cùng trong bài báo "Các tác nhân kinh tế lân cận" của Debreu (La Quyết 171 (1969): 85-90; in lại trong G. Debreu, Kinh tế toán học: Hai mươi bài báo của Gerard Debreu (1986), trang 173 -178) đã được sử dụng:

$M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$ đâu

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

là giá trị nhỏ gọn và hemi trên liên tục .

Lưu ý rằng định lý trông tương tự như Định lý Berge Maximum nổi tiếng. Trước tuyên bố của định lý, Debreu viết rằng các trường hợp đặc biệt của nó "đã được sử dụng nhiều lần trong lý thuyết cân bằng kinh tế và trong lý thuyết trò chơi", nhưng không đưa ra bất kỳ tài liệu tham khảo nào; trong bài báo, nó được sử dụng để chứng minh tính liên tục của sự tương ứng nhu cầu đối với một tác nhân trong nền kinh tế trao đổi.

Tôi đặc biệt quan tâm đến việc có bất kỳ việc sử dụng hay khái quát hóa nào gần đây của định lý này hay không, ví dụ như các ánh xạ không có giá trị nhỏ gọn.

Câu hỏi: một số ví dụ hay và / hoặc tài liệu tham khảo cho các ứng dụng của định lý trên là gì? Nó đã được khái quát hóa cho các ánh xạ không có giá trị nhỏ gọn?

Kết quả này thực sự là một phiên bản của định lý tối đa của Berge. Nếu có hàm liên tục sao cho khi và chỉ khi , người ta có thể lấy kết quả trực tiếp từ định lý tối đa của Berge. Nếu nhỏ gọn cục bộ, vì đó là trường hợp nếu , thì luôn luôn có thể tìm thấy hàm như vậy, điều này tuân theo Định lý 1 trong Mas-Colell's On the Biểu diễn liên tục của các lệnh trước (ít nhất là nếu là hoàn hảo, tôi không chắc về điểm đó). Có thể tìm hiểu thêm về "các chức năng tiện ích liên tục chung" như vậy trong chương 8 của Đại diện các thứ tự ưu tiên$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, bởi Bridges & Mehta.

Bây giờ Debreu không có sẵn kết quả như vậy, vì vậy ông đã làm việc với các mối quan hệ ưu tiên và về cơ bản phản bác lại định lý tối đa của Berge (khái quát hóa là đơn giản về mặt toán học). Tại sao anh ta làm như vậy? Để hiểu điều đó, người ta cần hiểu quan điểm của bài báo của Debreu, đó là tìm một cấu trúc liên kết về các mối quan hệ ưu tiên có các đặc tính nioce và làm cho hành vi kinh tế liên tục. Sự cần thiết cho một kết quả như vậy xuất phát từ các tài liệu về các nền kinh tế với sự liên tục của các tác nhân.

Điều đó có nghĩa là sự liên tục của nền kinh tế đại lý là giới hạn của một chuỗi các nền kinh tế hữu hạn? Một câu trả lời là sự phân phối về các đặc tính của các tác nhân hội tụ đến sự phân phối các đặc tính trong nền kinh tế liên tục, do đó, khái niệm hội tụ là sự hội tụ trong phân phối. Để thực hiện ý tưởng này, người ta cần cấu trúc lại các đặc điểm của các tác nhân. Bây giờ một đại lý được đặc trưng bởi tài sản của cô ấy và bởi sở thích của cô ấy (và trong các mô hình tổng quát hơn theo bộ tiêu dùng của cô ấy). Có một cấu trúc liên kết tự nhiên trên các nguồn lực, cấu trúc liên kết Euclide, nhưng nó không đơn giản để tô điểm cho các ưu tiên, và đó là những gì Debreu đã làm trong bài báo của mình. Một giải thích về phương pháp phân phối này có thể được tìm thấy trong Hildenbrand 1974, Core và cân bằng của một nền kinh tế lớn .

Bây giờ, có những trường hợp người ta muốn áp dụng định lý của Berge cho các tập hợp lựa chọn không gọn. Điều này có thể quan trọng khi nghiên cứu các nền kinh tế với không gian hàng hóa vô hạn, trong đó được đóng và giới hạn không có nghĩa là sự gọn nhẹ. Một cách để giải quyết vấn đề này là tìm một tập hợp nhỏ gọn sao cho sự tương ứng có giá trị nhỏ gọn và không có giá trị khi bị giới hạn trong tập hợp này. Có một tài liệu lớn, rất kỹ thuật về "trò chơi tổng quát" hoặc "nền kinh tế trừu tượng" (về cơ bản là trò chơi bình thường trong đó không gian chiến lược phụ thuộc vào hành động của người khác) và chúng thường ẩn chứa những khái quát không gọn nhẹ của định lý Berge. Nếu bạn có thể chạm tay vào cuốn sách, hãy xem chương 4 của Xian-Zhi Yuan 1999, Lý thuyết và ứng dụng KKM trong Phân tích phi tuyến. Tuy nhiên, ấn tượng của tôi là những kết quả này được chứng minh là không hữu ích trong các ứng dụng kinh tế. Để chứng minh sự tồn tại của cân bằng Walrasian trong các mô hình với không gian hàng hóa vô hạn, người ta thường sử dụng các phương pháp khác nhau.