Tôi dựa vào các định nghĩa từ Chương 2 của Sổ tay Lý thuyết trò chơi, Tập 1, của Sergiu Hart.
Nếu tôi hiểu bạn một cách chính xác, mệnh đề có thể được viết lại thành
Dự luật . Đối với, mọi trò chơi dạng mở rộng hữu hạn $ \ Gamma ^ E $, tồn tại một
biểu diễn hình thức chiến lược $ \ Gamma ^ N = [I ^ N, \ {S ^ N_i \}, \ {u ^ N_i (\ cdot) \}] $
- $ I ^ N = Tôi ^ E $,
và với tất cả $ i \ in I ^ N = I ^ E $,
$ S ^ N_i = \ {$ chiến lược thuần túy của $ i $ trong $ \ Gamma ^ E $ $ \} $,
và $ u ^ N_i (s) = u ^ E_i (c (s)) $, trong đó $ c (s) $ liên kết mọi hồ sơ của chiến lược thuần túy trong $ \ Gamma ^ E $ với nút cuối là $ \ Gamma ^ E $ kết quả từ hồ sơ chiến lược thuần túy $ s $.
Tôi nghĩ 1. và 2. là rõ ràng. Chỉ còn lại hiển thị 3, tương đương với việc chứng minh rằng $ c (s) $ là một hàm, tức là mọi hồ sơ của các chiến lược thuần túy được liên kết với một và chỉ một nút đầu cuối trong $ \ Gamma ^ E $. Điều này xuất phát trực tiếp từ thực tế rằng chiến lược thuần túy của một số người chơi $ i $ là một chức năng chọn một và chỉ một hành động có thể có từ mỗi bộ thông tin.
- Bắt đầu từ nút gốc, $ r_0 $.
- Theo định nghĩa của một trò chơi ở dạng rộng, các nút được phân vùng giữa các tác nhân.
- Do đó $ r_0 $ thuộc về một số đại lý $ i_0 $.
- Theo định nghĩa của trò chơi ở dạng mở rộng, các nút của $ i_0 $ được phân vùng thành các bộ thông tin.
- Do đó, $ r_0 $ thuộc về một số thông tin của $ i_0 $, giả sử $ H_i ^ 0 $.
- Theo định nghĩa của chiến lược thuần túy $ s $, đối với bất kỳ nút nào trong $ H_i ^ 0 $, $ i_0 $ luôn chọn một Độc thân người kế vị, trong số những người kế vị có thể có tại $ H_i ^ 0 $.
- Đặt người kế vị này là $ r_1 $.
Sau đó, $ r_1 $ phải là người kế thừa của $ r_0 $ và là nút tiếp theo trên đường dẫn.
Bây giờ hãy xem xét $ r_1 $.
- Theo định nghĩa của một trò chơi ở dạng rộng, các nút được phân vùng giữa các tác nhân.
- Do đó, $ r_1 $ thuộc về một số đại lý $ i_1 $ (trong đó $ i_1 = i_0 $ được cho phép).
- $ \ vdots $
- Lặp lại đối số nhiều lần nếu cần, vì trò chơi là hữu hạn, chúng ta nhất thiết phải đạt tới một nút thiết bị đầu cuối $ r_ * = c (s) $.