Ma trận chuyển tiếp: Rời rạc -> Thời gian liên tục

Tôi có đoạn code tương ứng với Tauchen (1986) (Python tương đương này ), mà tạo ra một xấp xỉ rời rạc của một thời gian rời rạc AR (1) quá trình.

Ví dụ: nếu bạn thiết lập kích thước lưới là 3, nó sẽ cung cấp cho bạn một vectơ năng suất

[A_1, A_2, A_3,]

và một ma trận xác suất chuyển tiếp

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

Trong đó hàng i, cột jcung cấp cho bạn xác suất chuyển từ isang jvà thỏa mãn rằng tổng của mỗi hàng xấp xỉ một.

Tôi tự hỏi làm thế nào tôi có thể chuyển đổi nó thành một thời gian liên tục tương đương với ma trận chuyển tiếp; một tập hợp các xác suất poisson kiểm soát tốc độ dòng chảy giữa các trạng thái.

Tất cả những gì tôi nhớ về vấn đề này là chúng ta có thể có được xấp xỉ tuyến tính với xác suất poisson bằng cách sử dụng

$$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$$

Nhưng tôi không thể thấy điều đó giúp tôi biến đổi ma trận cũ đó thành \ lambda như thế nào $\lambda$... Tôi đang mong chờ bất kỳ đề xuất nào.

Giả sử là ma trận của tốc độ chuyển đổi Poisson, trong đó cho biểu thị tốc độ mà trạng thái chuyển sang trạng thái và đưa ra tỷ lệ tại trạng thái chuyển sang tất cả các trạng thái khác. Mỗi hàng tổng bằng 0.$B$$n\times n$$B_{ij}\geq 0$$i\neq j$$i$$j$$B_{ii}\leq 0$$i$$B$

Sau đó, nếu biểu thị phân phối xác suất tại thời điểm , theo định nghĩa của chúng ta có ODE Chúng ta biết giải pháp cho loại ODE này trông như thế nào: , trong đó là số mũ của ma trận . Vì vậy, nếu chúng ta muốn để tạo ra Markov chuyển ma trận sau khi , chúng ta cần phải có .$p(t)$$t$$B$

$$\dot{p}(t) = Bp(t)$$ $p(t)=e^{Bt}p(0)$$e^{Bt}$$Bt$$B$$A$$t=1$$e^B=A$

Về nguyên tắc, để có được , chúng ta cần phải đảo ngược mũ ma trận, lấy logarit ma trận của . Vấn đề là mỗi ma trận có nhiều logarit ma trận - logarit trong không gian phức tạp một chiều có vô cùng nhiều chi nhánh, và điều này trở nên phức tạp khi chúng ta đang nói về ma trận trong không gian ba chiều. Hầu hết các logarit này sẽ không thỏa mãn các ma trận chuyển tiếp Poisson: có thể chúng sẽ không có thật hoặc các mục nhập sẽ không có dấu hiệu đúng. Tuy nhiên, có thể có nhiều hơn một trong số chúng là: trong một số trường hợp có nhiều hơn một Poisson tương ứng với Markov , giống như trong một số trường hợp không có Poisson$B$$A$$n$$B$$A$$B$tương ứng với . Nó lộn xộn.$A$

May mắn thay, có một tình huống mà cuộc sống tương đối đơn giản, và nó gần như chắc chắn bao gồm cả trường hợp của bạn: khi tất cả các giá trị bản địa của là thực tế, khác biệt$A$ . Trong trường hợp này, chỉ có một logarit của sẽ là số thực và rất dễ tính toán: bạn chỉ cần chéo hóa ma trận là và lấy logarit thực của các giá trị riêng, lấy , trong đó . Thật vậy, bạn không cần phải tự làm điều này: nếu bạn sử dụng lệnh trong Matlab (có lẽ là Python cũng vậy), nó sẽ cung cấp cho bạn chính xác này .$A$$A=V\Sigma V^{-1}$$B=V\Omega V^{-1}$$\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$$\text{logm}(A)$$B$

Với này , tất cả những gì bạn phải làm là xác minh rằng đó thực sự là ma trận Poisson. Yêu cầu đầu tiên, tất cả các hàng đều bằng 0, được thỏa mãn tự động do việc xây dựng ** Yêu cầu thứ hai, các phần tử đường chéo là âm và các phần tử ngoài đường chéo là dương, không phải lúc nào cũng giữ (tôi nghĩ ), nhưng thật dễ dàng để bạn kiểm tra.$B$$B$

Để thấy điều này trong thực tế, tôi sẽ xem xét điểm cho quy trình Markov 3 trạng thái giống với AR rời rạc (1). Bây giờ, nếu tôi nhập vào Matlab, tôi get Đây thực sự là một ma trận chuyển tiếp Poisson hợp lệ, vì chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra xem các hàng tổng bằng không và có các dấu hiệu đúng - vì vậy đây là câu trả lời của chúng tôi.$A$

$$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$$ $B=\text{logm}(A)$ $$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$$

Trường hợp có giá trị riêng dương là khá quan trọng, vì nó kéo dài tất cả các trường hợp không có một loại hành vi dao động nào trong chuỗi Markov (sẽ yêu cầu giá trị riêng âm hoặc phức tạp), có lẽ bao gồm cả AR (1) rời rạc của bạn.

Tổng quát hơn, lệnh trên Matlab sẽ cung cấp cho chúng ta logarit ma trận chính , một dạng tương tự của logarit vô hướng chính lấy tất cả các giá trị riêng để có phần ảo giữa và . Vấn đề là điều này không nhất thiết phải là logarit chúng tôi muốn, và bằng cách nhìn vào nó, chúng ta có thể bỏ lỡ một Poisson mà không tạo ra . (Đó là lý do tại sao trường hợp eigenvalue tích cực, nơi chúng tôi không phải lo lắng về điều này, rất hay.) Tuy nhiên, ngay cả trong những trường hợp khác, việc thử xem nó có hoạt động hay không.$\text{logm}$$-\pi$$\pi$$B$$A$

Nhân tiện, vấn đề này xem liệu có tạo ra một số ma trận Markov đã được nghiên cứu rộng rãi hay không. Nó được gọi là vấn đề nhúng : xem một số tổng quan và tài liệu tham khảo trong bài viết khảo sát tuyệt vời này của Davies . Tôi không phải là một chuyên gia về các khía cạnh kỹ thuật của vấn đề, mặc dù; câu trả lời này dựa nhiều hơn vào kinh nghiệm và trực giác hackish của riêng tôi.$B$$A$

Tôi cảm thấy bắt buộc phải đóng cửa bằng cách tán thành nhận xét của ecksc và nói rằng có thể có những cách tốt hơn, trực tiếp hơn để chuyển đổi AR (1) được trang bị một cách riêng biệt thành một quy trình thời gian liên tục ở trạng thái hữu hạn - thay vì chỉ sử dụng ma trận thu được bằng phương pháp Tauchen và làm cho nó liên tục Nhưng cá nhân tôi không biết cách tốt hơn đó là gì!

---

** Giải thích (mặc dù tôi rất gỉ): có giá trị riêng của Perron-Frobenius là 1, và vì là ngẫu nhiên, hàm riêng của eigenvalue này là vectơ đơn vị . Đây vẫn là eigenvector đúng, bây giờ với giá trị riêng là 0, khi chúng ta lấy logarit ma trận.$A$$A$$e$

Không thể nhận xét, hoặc tôi yêu cầu cụ thể hơn trước. Nếu bạn đang cố gắng chuyển đổi quy trình AR (1) phù hợp với chuỗi thời gian riêng biệt sang quy trình thời gian liên tục, tôi đã tìm thấy một tài nguyên có liên quan ở đây trên trang 4.

Các tính toán được cung cấp để ước tính các hệ số của quy trình CAR (2) từ quy trình AR (2), nhưng tất nhiên bạn có thể thay thế 0 cho hệ số thứ hai để có được chuyển đổi.

Nếu bạn đang cố gắng chuyển đổi một chuỗi thời gian rời rạc của Markov thành thời gian liên tục, nó sẽ phức tạp hơn và tôi sẽ phải đọc thêm một chút trước khi tôi có thể giúp đỡ nhiều hơn. :) Trong lúc này, đây là một số tài liệu đọc tốt mà tôi tìm thấy liên quan đến chuỗi thời gian liên tục Markov.