Ưu tiên hơn xổ số mà không có tiên đề độc lập

Giả sử một bộ kết quả có thể được xếp theo thứ tự sau: 1 \ succ 2 \ succsim \ cdots \ succsim N . Hơn nữa, giả sử một người ra quyết định có ưu tiên hơn xổ số hơn những kết quả này. Giả sử ưu tiên trên xổ số là hợp lý, liên tục, nhưng không nhất thiết phải phù hợp với tiên đề độc lập .$N$$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

Liệu nó có theo dõi xổ số tốt nhất trong trường hợp này là xổ số thoái hóa $(1,0,\dots,0)$ không?

Nếu tiên đề độc lập bị vi phạm thì sao?

Không, không nhất thiết. Nếu không có tiên đề độc lập (hoặc một cái gì đó khác để thay thế nó), bạn không thể suy luận nhiều về sở thích đối với xổ số (không suy biến) khi chỉ biết sở thích về kết quả.

Ví dụ: đặt là xác suất của kết quả . Sau đó, tùy chọn trên xổ số đại diện bởi chức năng tiện ích$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

là liên tục và hợp lý, nhưng không thỏa mãn tiên đề độc lập. Đối với đủ lớn, thậm chí không có trường hợp nào là xổ số tốt nhất, mặc dù và .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Để xem tại sao, hãy quan sát điều đó

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Tuy nhiên, đối với ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

Vi phạm các tiên đề độc lập có thể được nhìn thấy từ thực tế rằng, khi ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

Mặc du

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$