Nhu cầu của Marshall về Cobb-Douglas

Khi thử tối đa hóa tiện ích có hàm tiện ích , với , tôi đã tìm thấy các công thức sau ( Wikipedia: Nhu cầu của Marshall ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

Trong một trong những cuốn sách của tôi, tôi cũng tìm thấy những công thức này cho cùng một mục đích:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Với : giá của hàng hóa; : ngân sách $p_i$ $m$

Tôi đã thử nghiệm tất cả trong số họ và họ đã tạo ra kết quả tương tự.
Vậy có sự khác biệt nào không?

— người dùng1170330
nguồn

không liên quan đến độc quyền? đến

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— Jamzy

Bạn có thể nói thẳng ra một số ký hiệu? Trong ví dụ thứ hai, a và b có phải là số mũ trong hàm tiện ích x1 và x2 không? Họ có tổng bằng 1 không? Có phải y trong bài toán thứ nhất giống như m trong bài thứ hai không?

— BKay

@Jamzy: Vâng, đúng vậy.

— dùng1170330

@BKay: Vui lòng xem các ký hiệu cập nhật của tôi.

— dùng1170330

Câu trả lời:

Vì nên các phương trình hoàn toàn giống nhau. Thay vào cho với trong phương trình thứ ba và thứ tư cho phương trình thứ nhất và thứ hai. $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
nguồn

Những công thức này cũng có thể được chỉnh sửa để hoạt động với chức năng tiện ích như ? Vậy với một số bổ sung trước ?

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— dùng1170330

Tôi đề nghị hỏi điều này như một câu hỏi mới.

— BKay

Nếu thì sao? Tôi có nên sử dụng công thức 3 và 4 trong trường hợp này?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— dùng1170330

@ user1170330 nếu nó vẫn hoạt động

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— Jamzy

Đây là cách bạn có được từ phương trình đầu tiên của bạn để thứ hai của bạn. chức năng tiện ích của bạn là vì Tôi sẽ thay đổi một chút thành a và (1-a) Để tối ưu hóa hai lựa chọn này, bạn cần tối đa hóa tiện ích , wrt biến lựa chọn của bạn. $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

tuân theo bằng Luật Walras. Về cơ bản, để tối ưu hóa tiện ích, tất cả tiền sẽ được chi tiêu. $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Các chức năng Cobb-Douglas thường khó khăn cho các vấn đề tối ưu hóa. Một phép biến đổi đơn điệu bảo toàn các tính chất thứ tự của hàm có thể được sử dụng.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Điều này sẽ được sử dụng thay thế. Hạn chế ngân sách tương tự sẽ được áp dụng.

Các điều kiện Lagrange và First Order dưới đây

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

thao túng các điều kiện thứ tự đầu tiên dẫn đến

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

thay thế trong ràng buộc ngân sách $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

và

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Sử dụng các kết quả này, chúng tôi có thể tìm ra các gói tiêu dùng tối ưu và cho một mức giá nhất định, kết hợp sự giàu có. $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Jamzy
nguồn