Sử dụng toán học và định nghĩa không chính xác của các thuật ngữ

Là một sinh viên sau đại học về kinh tế, tôi đã cố gắng mở rộng "bộ công cụ" toán học của mình. Trong khi làm như vậy, tôi đã nói chuyện với các kỹ sư, nhà vật lý và nhà toán học, nhiều người trong số họ đã coi thường việc sử dụng toán học trong kinh tế. Lập luận của họ khác nhau, nhưng một chủ đề chung được tóm tắt bởi nhà phê bình của nhà toán học Michael Edesess :

Kinh tế giả vờ là toán học, nhưng nó không phải là toán học. Có một sự khác biệt lớn. Không có nhà toán học nào sử dụng một thuật ngữ trong một công thức, hoặc một tuyên bố của một định lý, trừ khi thuật ngữ đó lần đầu tiên được xác định với độ chính xác cao.

Và trong khi các nhà kinh tế có thể nghĩ rằng họ đã định nghĩa các thuật ngữ như "tổng cầu" hoặc "tăng trưởng kinh tế", họ nên thử đọc một số toán học thực tế để xem định nghĩa chính xác thực sự là gì. Các nhà kinh tế, tôi nghĩ, để công việc định nghĩa được suy ra từ cách các thuật ngữ được sử dụng trong các công thức.

Tôi tin rằng tôi biết định nghĩa chính xác về (khá nhiều) thuật ngữ kinh tế, nhưng có lẽ Edesess đang chỉ ra một số nền tảng toán học sâu sắc hơn mà tôi có thể không quen thuộc. Ai đó có thể mở rộng về lập luận của mình và thậm chí có thể phản hồi lại?

Edesess đang tấn công những gì thực sự chỉ là một người rơm kinh tế. Tôi không chắc anh ấy thực sự hiểu lĩnh vực này. Để bắt đầu, kinh tế không phải là toán học. Chúng tôi không tuyên bố rằng nó là. Đó là nhiều hơn của một khoa học "ứng dụng". Các nhà kinh tế chưa bao giờ tuyên bố rằng những định nghĩa này là chính xác theo cách toán học. Các định nghĩa này là các cấu trúc mô hình --- chúng dành cho công việc được áp dụng. Chúng được sử dụng tạm thời theo một cách nào đó. Vấn đề là cố gắng truyền đạt một ý tưởng theo cách chính xác hơn là bằng lời --- nhưng mọi người đều biết rằng chúng không chính xác như chúng ta muốn và không chính xác như cuối cùng chúng nên như vậy. Chúng có nghĩa là để tranh luận và sau đó tinh chế. Nhưng, như tất cả các nhà khoa học ứng dụng đều biết, bạn phải bắt đầu ở đâu đó và đôi khi các ý tưởng được truyền đạt tốt nhất thông qua đơn giản hơn --- nếu ít chi tiết hơn.

Đến với các định nghĩa tốt hơn là một phần rất lớn của khoa học kinh tế. Hãy xem xét những ví dụ này. Khi Quỹ Cowles được thành lập vào năm 1932, phương châm của nó là "Lý thuyết và Đo lường" ( phương châm này được áp dụng lần đầu tiên vào năm 1952 ). Đo lường không phải là một điều dễ dàng để làm. Một ví dụ khác, rất nhiều công việc của Larry Kotlikoff đã giải quyết làm thế nào nhiều biện pháp tài khóa không phải là khái niệm được xác định rõ về mặt kinh tế.

Einstein đã dạy chúng tôi rằng cả thời gian và khoảng cách đều không phải là những khái niệm vật lý được xác định rõ ràng. Thay vào đó, phép đo của chúng liên quan đến khung tham chiếu của chúng ta - chúng ta đã đi trong vũ trụ nhanh như thế nào và theo hướng nào. Khung tham chiếu vật lý của chúng tôi có thể được xem như là ngôn ngữ hoặc quy ước ghi nhãn của chúng tôi. ... Kotlikoff, cùng với Jerry Green của Harvard, đã đưa ra một bằng chứng chung về đề xuất rằng thâm hụt và một số biện pháp tài chính thông thường khác, nói về mặt kinh tế, không có nội dung, kết luận rằng thâm hụt chỉ là một cách nói tùy tiện về ngôn ngữ mô hình kinh tế liên quan đến các tác nhân hợp lý.

Ngoài ra, lấy một ví dụ khác về sự quan tâm hiện tại. Công trình gần đây của Lars Hansen (người chiến thắng giải thưởng "Nobel" Kinh tế 2013) đã tập trung vào khó khăn và thất bại liên tục để xác định các khái niệm kinh tế nhất định, bao gồm "bong bóng" và rủi ro hệ thống. Xem bài tiểu luận "Những thách thức trong việc xác định và đo lường rủi ro hệ thống" . Tôi là một fan hâm mộ của cuốn sách mà anh ấy chuyển tiếp, được gán cho Lord Kelvin,

Tôi thường nói rằng khi bạn có thể đo lường một cái gì đó mà bạn đang nói về, diễn đạt nó bằng số, bạn biết điều gì đó về nó; nhưng khi bạn không thể đo lường được nó, khi bạn không thể diễn đạt nó bằng những con số, kiến ​​thức của bạn thuộc loại ít ỏi và không thỏa mãn: nó có thể là khởi đầu của kiến ​​thức, nhưng bạn hiếm khi, trong suy nghĩ của bạn tiến đến giai đoạn khoa học, bất kể vấn đề có thể là

Ông lưu ý rằng "một phiên bản rút gọn xuất hiện trên tòa nhà Nghiên cứu Khoa học Xã hội tại Đại học Chicago." Vì vậy, yeah, các nhà kinh tế (như các nhà khoa học xã hội) chắc chắn thực hiện điều này một cách nghiêm túc.

Vì vậy, vấn đề là các nhà kinh tế nhận thức rõ các vấn đề trong các "định nghĩa" này. Họ là một phần của nghiên cứu liên tục trong lĩnh vực này; đôi khi họ bị bỏ qua nếu mọi người không nghĩ rằng họ là người đầu tiên giải quyết vấn đề; Vân vân...

Kinh tế giả vờ là toán học, nhưng nó không phải là toán học.

Chúa cấm, nếu bạn tha thứ cho ngôn ngữ của tôi. Như nhiều ngành khoa học khác, Kinh tế sử dụng Toán học, chắc chắn đó không phải là Toán học và nó không bao giờ có thể trở thành Toán học.

Toán học có thể lấy cảm hứng từ thế giới thực, nhưng sau đó nó xác định và hoạt động với các khái niệm của nó mà không cần quan tâm đến việc liệu chúng có còn kết nối với nguồn cảm hứng hay không.
Mặt khác, kinh tế học có nghĩa vụ xác định các khái niệm của nó theo cách bảo tồn một mức độ phù hợp với các khía cạnh trong thế giới thực mà nó cố gắng nghiên cứu . Và vì "thế giới thực" mà Kinh tế bận tâm là thế giới xã hội , đầy rẫy những điều không chắc chắn và luật pháp chưa ai phát hiện ra, nên theo đó Kinh tế học không bao giờ có thể đạt được "độ chính xác cao", và vẫn còn phù hợp . Vậy thì sao? Kinh tế không phải là Toán học, chúng tôi đã nói rằng. Kinh tế khó hơnhơn Toán học, chính xác bởi vì nó không thể áp đặt độ chính xác như vậy cho chính nó và vẫn hữu ích. Nhưng nó tuân theo phương pháp khoa học, và vì vậy thay vì bị giới hạn trong các cuộc tranh luận bằng lời nói, nó cố gắng "toán hóa" chúng (sử dụng ngôn ngữ tượng trưng) để chúng có thể minh bạch và tập trung hơn về kết luận và tính nhất quán bên trong của chúng .

Nó sẽ là nhiều hơn nữa dễ dàng để tạo ra luận bằng lời nói, mà đầu tiên sẽ yêu cầu một vòng phân tích ngữ nghĩa, và sau đó, nếu vòng này cuối cùng kết luận nơi nào đó, để thảo luận về lý luận cho mỗi gia nhập . Nhưng một khi chúng tôi đặt nó bằng ngôn ngữ tượng trưng, ​​chúng tôi xóa sương mù và chúng tôi để cho cơ sở của chúng tôi (và vì vậy những hạn chế và không hoàn hảo của chúng tôi ) tỏa sáng cho bất cứ ai quan tâm. Đó là điều mà tôi gọi là tính toàn vẹn khoa học trong Khoa học xã hội và đây là lý do tại sao tôi coi Kinh tế học là Khoa học xã hội tiên phong.

Định nghĩa trong Toán học

Lĩnh vực toán học không chỉ là các ứng dụng. Trong thực tế, các ứng dụng là kết quả của toán học thực tế xuất hiện dưới dạng chứng minh và định lý. Ví dụ, trong lý thuyết vành, các nhà toán học cần phải chứng minh rằng a * 0 = 0với tất cả các giá trị của a. Dưới đây là bằng chứng: Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

Các ứng dụng này mang lại lợi ích cho nhiều cá nhân khi được sử dụng để hiển thị 5 * 0 = 0, nhưng đây chỉ là kết quả của một kết quả rộng hơn đã được chứng minh.

Những bằng chứng này được xây dựng như thế nào? Thông qua các định nghĩa. Để chứng minh kết quả trên, chúng tôi không thể cho rằng a(0 * 0) = a * 0 + a * 0; thay vào đó, chúng ta cần sử dụng định nghĩa của "vòng", theo định nghĩa, cho phép dòng (1). Tương tự, chúng tôi cần sử dụng định nghĩa của "vòng" để biết rằng chúng tôi được phép sử dụng -(a * 0)trong dòng (2).

Định nghĩa trong kinh tế

Kinh tế, tuy nhiên, không sử dụng các định nghĩa trong cùng một khả năng. Ở đây, các định nghĩa được sử dụng đúng cho "định nghĩa các thuật ngữ" thay vì "quan hệ của các thuật ngữ". Trong Kinh tế, người ta không thể chứng minh rằng, trong ngắn hạn, việc mở rộng cung tiền (gây ra lạm phát) sẽ làm giảm tỷ lệ thất nghiệp. Các định nghĩa trong kinh tế học không được thiết lập để làm điều đó; thậm chí nhiều hơn như vậy, họ không thể làm điều đó.
Một phần lý do mà các định nghĩa trong kinh tế học không thể làm điều này là do các định nghĩa. Hãy nghĩ về các thuật ngữ "tốt", "thị trường" và "nhu cầu". Tất cả các thuật ngữ này có định nghĩa cẩu thả. Họ không thực sự liên quan đến bất cứ điều gì khác. Mặt khác, chúng tôi có các thuật ngữ như "tiền tệ" và "GDP" có định nghĩa chính xác, sâu rộng. Các định nghĩa này đã được chọn một cách có chủ đích và các phép đo "tiền tệ" và "GDP" là chính xác vì điều này.
Một phần khác của lý do tại sao Kinh tế có định nghĩa "nghèo" là do nghiên cứu về chính kinh tế. Kinh tế phụ thuộc rất nhiều vào nhu cầu của cá nhân. Nhu cầu này không thể được định lượng và cũng không có gì đảm bảo rằng nó sẽ giữ nguyên từ lúc này đến lúc khác. Do đó, không có cách thực sự nào để xây dựng một bằng chứng sẽ đúng hơn bất kỳ thời điểm cụ thể nào. Bởi vì điều này, kinh tế không cần định nghĩa nghiêm ngặt. Tuy nhiên, trong Toán học, chúng ta có thể xây dựng các bằng chứng bất kể số lượng chúng ta sử dụng và do đó, vượt qua các giới hạn cho đến một bối cảnh rất rộng. Trong bằng chứng ở trên, chúng tôi đã sử dụng athay vì một số để chúng tôi không phải phụ thuộc vào việc sử dụng số đó và chỉ số đó. Bằng cách sử dụng a, chúng tôi biết rằng nhân bất kỳ số nào với 0sẽ cho chúng tôi 0.

Đáp lại sự phù hợp

Edesess hầu hết (có thể là 95%). Trong thực tế, hầu hết các định nghĩa về kinh tế học không được "định nghĩa chính xác" ở cùng mức độ mà các định nghĩa toán học bắt buộc phải có. Trong Toán học, các định nghĩa được Cộng đồng toán học xem xét và quyết định cẩn thận (không nói rằng các định nghĩa kinh tế không có, nhưng đó là ngoài tầm hiểu biết của tôi). Ngoài ra, theo bản chất của Kinh tế học, việc sử dụng các định nghĩa không thể được sử dụng để chứng minh bất cứ điều gì.
Tuy nhiên, để đáp lại Edesess, kinh tế học không nên được coi là Toán học vì những khác biệt cơ bản trong cách họ thực hiện các khám phá. Kinh tế được nâng cao thông qua các cuộc thăm dò, dữ liệu thị trường, đồ thị cung và cầu; Toán học được tiếp tục bởi nghiên cứu, bằng chứng và định lý.

Các phê bình của Edesess, bỏ lỡ điểm. Thực tế sâu sắc hơn nhiều so với việc lạm dụng các định nghĩa toán học.

Sự thật của một tuyên bố toán học phụ thuộc mạnh mẽ vào khả năng truy xuất bất kỳ định nghĩa được sử dụng đến mức logic tiên đề . Theo nghĩa này, người ta sẽ không tìm thấy bất kỳ nhà toán học nào sử dụng các định nghĩa một cách điên cuồng mà không thể rút gọn thành khối kiến ​​thức thực sự về mặt toán học / logic đã tồn tại. Nhưng điều này là rõ ràng.

Trong các lĩnh vực khoa học ứng dụng (sinh học, y học, kỹ thuật, v.v.), người ta bắt đầu với một vấn đề thực sự (miền vấn đề), hoặc hiện tượng, và mô hình hóa vấn đề bằng ngôn ngữ toán học. Mục đích là để giải quyết / nghiên cứu / mô phỏng một vấn đề toán học, để có thể nói điều gì đó về vấn đề thực sự.

Bài phê bình thực sự là về sự thay đổi toán học của kinh tế học (bắt đầu với Samuelson trong những năm 50 của 60). Yêu cầu là một số nhà kinh tế thực hiện chuyển đổi sang miền toán học và đánh mất vấn đề ban đầu và không bao giờ chuyển đổi trở lại miền vấn đề (tức là sự tương tác của con người, công ty, tài nguyên, v.v.). Các nhà kinh tế này xuất hiện nội dung với việc xây dựng các mối quan hệ đại số tuyến tính, hoặc giải các phương trình hồi quy tự động véc tơ, không có sự biện minh theo kinh nghiệm - hoặc tệ hơn - cho rằng kinh tế học như vậy nằm trên các cân nhắc ngắn hạn (nghĩa là lý thuyết của tôi không thể bị làm sai lệch trong bất kỳ cuộc sống nào của chúng ta).

Có rất nhiều ví dụ về điều này. Một điều hiển nhiên là cái gọi là lý thuyết về trạng thái cân bằng chung - không chỉ được chứng minh là thiếu sót về mặt toán học (thông qua nhiều cân bằng (xem định lý Sonnenschein, Mantel, Debreu) ​​trong những năm 1970), mà còn được cho là không có bất kỳ nội dung thực nghiệm nào . Do đó, một số nhà kinh tế thích ở lại trong lĩnh vực bị toán học hóa - có lẽ theo đuổi một mô hình chính xác hơn (GE tính toán, GE động, Stochastic GE, Dynamic stochastic GE, v.v.) - do đó, phê bình bị hiểu lầm mà các nhà kinh tế giả dạng . Người ta có thể làm cho trường hợp những người như vậy được mô tả chính xác hơn như các nhà toán học giả, giả dạng là các nhà kinh tế (theo nghĩa của vấn đề).