Đối với những gì chức năng nhu cầu là độc quyền có hại nhất?

Hãy xem xét một công ty với chi phí cận biên bằng không. Nếu nó cung cấp sản phẩm miễn phí, thì tất cả nhu cầu đều được thỏa mãn và phúc lợi xã hội tăng lên tối đa có thể; gọi sự gia tăng này .$W$

Nhưng bởi vì công ty là độc quyền, nó làm giảm nhu cầu và tăng giá để tối ưu hóa doanh thu của nó. Bây giờ các phúc lợi xã hội tăng bởi một số lượng nhỏ hơn, nói, .$V$

Xác định thiệt hại tương đối của phúc lợi (mất không) như sau: . Tỷ lệ này phụ thuộc vào hình dạng của hàm cầu. Vì vậy, câu hỏi của tôi là: tỷ lệ này bị giới hạn, hoặc nó có thể lớn tùy ý? Đặc biệt:$W/V$

• Nếu bị giới hạn, thì chức năng nhu cầu đó được tối đa hóa là bao nhiêu?$W/V$
• Nếu không bị ràng buộc, thì đối với họ hàm nào có thể trở nên lớn tùy ý?$W/V$

Đây là những gì tôi đã cố gắng cho đến nay. Đặt là hàm tiện ích cận biên của người tiêu dùng (cũng là hàm cầu ngược). Giả sử rằng nó là hữu hạn, mịn, giảm đơn điệu và được chia tỷ lệ theo miền . Đặt là đạo hàm của nó. Sau đó:x ∈ [ 0 , 1 ] U ( x $u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$ , tổng diện tích dưới .$u$
• x m$V = U(x_m)-U(0)$ , trong đó là số tiền được tạo ra bởi sự độc quyền. Đây là khu vực dưới ngoại trừ phần "giảm cân chết người".$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = số lượng tối đa hóa doanh thu của nhà sản xuất (hình chữ nhật được đánh dấu).
• $x_m$ thường có thể được tính bằng điều kiện đặt hàng đầu tiên: .$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

Để có được cảm giác về cách hành xử của , tôi đã thử một số họ chức năng.$W/V$

Đặt , trong đó là tham số. Sau đó:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• Điều kiện đặt hàng đầu tiên cho: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Khi , , vì vậy đối với gia đình này, bị chặn.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Nhưng điều gì xảy ra với các gia đình khác? Đây là một ví dụ khác:

Đặt , trong đó là tham số. Sau đó:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• Điều kiện đặt hàng đầu tiên cho: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Khi , một lần nữa , vì vậy ở đây một lần nữa bị chặn.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Và một ví dụ thứ ba, mà tôi đã phải giải quyết bằng số:

Đặt , trong đó là tham số. Sau đó:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• Điều kiện đặt hàng đầu tiên cho: . Sử dụng biểu đồ desmos này , tôi phát hiện ra rằng . Tất nhiên giải pháp này chỉ có hiệu lực khi ; nếu không, chúng tôi nhận được và không có tổn thất nặng.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• Sử dụng cùng một biểu đồ, tôi phát hiện ra rằng đang giảm theo , vì vậy giá trị tối đa của nó là khi , và nó xấp xỉ 1,3.$W/V$$a$$a=2$

Có một họ chức năng hữu hạn khác mà có thể phát triển vô hạn không?$W/V$

Một tỷ lệ lớn tùy ý sẽ xảy ra với đường cầu

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

Giá độc quyền ở , nhưng thặng dư của người tiêu dùng nếu là vô hạn, bởi vì khu vực dưới đường cầu chứa .$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$