Làm thế nào để có được sự co giãn của sự thay thế?

Đối với hai hàng hóa và , độ co giãn thay thế được xác định là $x$ $y$

σ \equiv \frac{d \log (\frac{y}{x})}{d \log (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{d (\frac{y}{x})}{\frac{y}{x}}}{\frac{d (\frac{U_{x}}{U_{y}})}{\frac{U_{x}}{U_{y}}}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$

Tôi bối rối bởi hai điều:

Tại sao chúng ta chỉ viết ? Chúng ta khác biệt gì với sự tôn trọng? $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
Làm thế nào để tôi sử dụng điều đó để hiển thị các mối quan hệ trên?

Ai đó có thể giải thích?

elasticity

— Stan Shunpike
nguồn

Làm thế nào để lấy được độ co giãn thay thế

Bước đầu tiên là nhớ lại định nghĩa của vi sai. Nếu bạn có hàm $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ , giả sử $f(x_1,\cdots,x_n)$ , thì:

d f = = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n} .

${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$

Ví dụ:

d đăng nhập v = = \frac{1}{v} d v

$d\log v = \frac{1}{v}dv$

Bây giờ giả sử , thì chúng ta có $v = \tfrac{y}{x}$

d đăng nhập (y / x) = = \frac{d (y / x)}{(y / x)}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$

và cho $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

d đăng nhập ({Bạn}_{x} / {Bạn}_{y}) = = \frac{d ({Bạn}_{x} / {Bạn}_{y})}{({Bạn}_{x} / {Bạn}_{y})}

$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$

Nói cách khác, nếu bạn giảm vấn đề xuống (1) hiểu định nghĩa của vi phân và (2) sử dụng một thay đổi đơn giản của biến , vấn đề trở nên rất đơn giản.

Sau đó bạn nhận được

σ \equiv \frac{d đăng nhập (\frac{y}{x})}{d đăng nhập (\frac{{Bạn}_{x}}{{Bạn}_{y}})} = = \frac{\frac{d (y / x)}{(y / x)}}{\frac{d ({Bạn}_{x} / {Bạn}_{y})}{({Bạn}_{x} / {Bạn}_{y})}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$

QUA MỘT BÊN:

Lưu ý, điều quan trọng là phải nhận ra rằng là một khái niệm có ý nghĩa. Bạn chỉ cần áp dụng quy tắc thương và bạn tìm thấy $d(y/x)$

d (y / x) = = \frac{x d y - y d x}{x^{2}}

$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$

Điều này có ý nghĩa bởi vì

d đăng nhập (y / x) = = d đăng nhập (y) - d đăng nhập (x) = = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

Và nếu bạn tính toán

d đăng nhập (y / x) = = \frac{d (y / x)}{(y / x)} = = \frac{\frac{x d y - y d x}{x^{2}}}{y / x} = = \frac{x d y - y d x}{x y} = = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

Logic tương tự áp dụng cho . $d(U_x/U_y)$

Do đó, tất cả được xác định rõ theo nghĩa chúng ta đang sử dụng các công cụ tính toán một cách chính xác / hợp pháp. $\sigma$

Độ co giãn của sự thay thế là gì?

Độ co giãn là bao nhiêu% một thứ thay đổi so với% thay đổi ở một thứ khác. Do đó, trong trường hợp này, đó là% thay đổi về tỷ lệ của hai hàng hóa so với một% thay đổi trong cho hai hàng hóa đó. $MRS$

— Stan Shunpike
nguồn