Tính toán tỷ lệ sống thời gian liên tục

Chúng tôi có một dân số của những người có độ tuổi khác nhau , thời gian được lập chỉ mục với t . Có một tỷ lệ mà mọi người chết, d ( a , t ) . Để đơn giản, bỏ qua sinh. Tôi muốn tính toán sự tiến hóa của sự phân bố thời gian theo thời gian.$a$$t$$d(a, t)$

Gọi biểu thị khối lượng người ở tuổi a và thời điểm t . Tôi sẽ bắt đầu với một xấp xỉ thời gian rời rạc và để Δ đi đến số không. Tại mỗi thời điểm riêng biệt,$m(a, t)$$a$$t$$\Delta$

$$m(a+\Delta, t+\Delta) = (1-P(a, t))m(a, t)$$

Trong đó là tương tự thời gian rời rạc của d ( a , t ) . Như tôi sẽ để cho Δ → 0 , tôi có thể xấp xỉ P với ( 1 - Δ d ) :$P(a, t) = exp(-d(a,t)\Delta)$$d(a,t)$$\Delta\to 0$$P$$(1-\Delta d)$

$$m(a+\Delta, t+\Delta) = \Delta d(a,t)m(a, t)$$

Vấn đề Đã ở đây tôi đang gặp rắc rối hiểu biết những gì đã xảy ra: biểu thị khối lượng của người đã hy sinh trong Δ ở mọi lứa tuổi một và thời gian t . Điều này có nên ảnh hưởng tiêu cực đến số đông người còn sống không? Tôi đã mong đợi một cái gì đó dọc theo dòng$\Delta d(a,t)$$\Delta$$a$$t$

$$m(a+\Delta, t+\Delta) = (1- \Delta d(a,t))m(a, t)$$

Tôi nghĩ rằng bước

"... trong đó là tương tự thời gian rời rạc của d ( a , t ) ..."$P(a, t) = exp(-d(a,t)\Delta)$$d(a,t)$

là vấn đề

Trong thời gian liên tục tôi đoán chúng ta có

$$\dot m(a,t) = -d(a,t)m(a,t) \implies m(a,t) = m_0\exp \{-d(a,t)t\}$$

Chúng tôi sau đó có, rời rạc,

$$\frac {m(a,t+\Delta) - m(a,t)}{m(a,t)} = \frac {\exp \{-d(a,t)(t+\Delta)\}-\exp \{-d(a,t)t\}}{\exp \{-d(a,t)t\}}$$

$$=\exp \{-d(a,t)\Delta\}-1 \approx -d(a,t)$$

$$\implies d(a,t) \approx 1-\exp \{-d(a,t)\Delta\}$$

$P(a, t) = 1-\exp(-d(a,t)\Delta)$$a$$t$$t+\Delta$$a$$t$$a+\Delta$$m$

$$m(a+\Delta, t+\Delta) = (1-P(a, t))m(a, t) = \exp(-d(a,t)\Delta m(a, t)$$

$$\approx [1-d(a,t)\Delta]m(a, t)$$

$a$$t$$t+\Delta$$a+\Delta$