Tối ưu hóa động: Điều gì xảy ra nếu điều kiện thứ hai không giữ được?

Hãy xem xét vấn đề tối ưu hóa động sau đây

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

FOC

Hamilton được đưa ra bởi Các mức độ cần thiết cho sự tối ưu được đưa ra tối đa nguyên tắc

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Giả sử là một công cụ tối đa hóa, tức là .$u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$$H_{uu} < 0$

XÃ

Định lý đủ cho mũi tên, rằng các phép đo cần thiết là đủ nếu Hamiltonian tối đa

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ được lõm vào $x$ , tức là nếu $H_{xx} < 0$ .

Vấn đề

Giả sử các FOC giữ, nhưng SOC không giữ được.

• Có thể nói gì về sự tối ưu của giải pháp?

Không có một câu trả lời duy nhất, nó sẽ phụ thuộc vào chi tiết của từng vấn đề. Hãy xem xét một ví dụ tiêu chuẩn.

Xem xét vấn đề tối ưu hóa liên thời gian chuẩn cho mô hình Ramsey

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

Giá trị hiện tại Hamilton là

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Tối đa hóa trên một mình chúng ta có$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

và điều kiện bậc 2 sẽ giữ nếu chức năng tiện ích là lõm,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Ngoài ra, từ điều kiện đặt hàng đầu tiên liên quan đến tiêu dùng, nếu không giữ bão hòa cục bộ. Giả sử rằng chúng ta có những sở thích "thông thường" như vậy.$\lambda >0$

Mức tiêu thụ tối đa của Hamilton là

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Các đạo hàm riêng liên quan đến biến trạng thái, là$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Vì vậy, ở đây, điều kiện đầy đủ của Arrow-Kurz làm rõ liệu sản phẩm cận biên của vốn đang giảm, không đổi hay tăng (sẽ phụ thuộc vào dấu hiệu của đạo hàm thứ hai của hàm sản xuất). Trong trường hợp tiêu chuẩn và chúng ta có điều kiện đủ.$f''(k) < 0$

Trong trường hợp sai lệch nổi tiếng nhất, mô hình của Romer khởi xướng tài liệu Tăng trưởng nội sinh, và sản phẩm cận biên của tư bản là một hằng số dương.f " ( k ) = $AK$$f''(k) =0$

Vậy chúng ta có thể nói gì trong trường hợp này?

Ở đây, Seierstad, A., & Sydsaeter, K. (1977). Điều kiện đủ trong lý thuyết điều khiển tối ưu. Tạp chí kinh tế quốc tế, 367-391. cung cấp các kết quả khác nhau có thể giúp chúng tôi.

Cụ thể, họ chứng minh rằng nếu Hamiltonian lõm vào nhau trong và , thì đó là điều kiện đủ cho mức tối đa. Người Hessian của Hamilton là$c$$k$

(chúng ta có thể bỏ qua thời hạn chiết khấu)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

Trong trường hợp tiêu chuẩn với đây là một ma trận xác định âm và do đó Hamilton được lõm hoàn toàn trong và . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Khi , việc kiểm tra ma trận có âm-semidefinite đơn giản bằng cách sử dụng định nghĩa. Hãy xem xét một vectơ và sản phẩm$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

bất đẳng thức yếu này giữ , và do đó, Hessian được lõm vào nhau trong và .$\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Vì vậy, trong mô hình về tăng trưởng nội sinh, giải pháp thực sự là tối đa (tùy thuộc vào các ràng buộc tham số cần thiết cho vấn đề được xác định rõ ràng).$AK$