Đoán và xác minh

Trong lập trình động, phương pháp của các hệ số không xác định đôi khi được gọi là "đoán và xác minh". Tôi đã định kỳ nghe nói có những dự đoán kinh điển mà người ta có thể đưa ra.

Đặc biệt, tôi đã thấy

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

Cái trước áp dụng cho tiện ích đăng nhập trong khi cái sau có liên quan đến các tùy chọn CRRA. Những dự đoán kinh điển nào khác tồn tại, và chúng thường được gắn với hình thức cụ thể của hàm trả về?

Chỉnh sửa : Đối với những người không quen thuộc với các chương trình động, những gì chúng tôi đang cố gắng thực hiện ở đây là đưa ra các dạng đóng cho các hệ số ( ví dụ và ). Để đơn giản hóa quá mức, phương trình chức năng thường có dạng chung , trong đó g (\ cdot, \ cdot) mô tả sự tiến hóa của biến trạng thái k . Về cơ bản, giá trị của trạng thái k hôm nay phụ thuộc vào hàm trả về F (k, u) ngày hôm nay và một số giá trị chiết khấu của bất cứ thứ gì k sẽ có vào ngày mai \ beta V \ bigl (g (k, u) \ bigr) . bạn$A$$B$$V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$$g(\cdot,\cdot)$$k$$k$$F(k,u)$$k$$\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$$u$ đại diện cho bất kỳ biến không trạng thái nào khác mà bạn nghĩ ảnh hưởng đến lợi nhuận.

Đôi khi, có thể nhận được giải pháp dạng đóng cho $V(k)$ (... lưu ý: chúng tôi không chỉ giải quyết cho $V(k)$ vì phía bên tay phải là số lượng tối đa). Điều này thường liên quan đến việc biết một cái gì đó về hàm trả về $F(k,u)$ và sau đó đoán về dạng hàm của $V(k)$ . Sau đó, chúng ta có thể lặp lại để xem liệu dự đoán của chúng ta có mang lại giải pháp dạng đóng cho $V(k)$ . Cụ thể, điều này sẽ bao gồm các dạng đóng cho các hệ số trong dự đoán (do đó phương pháp của các hệ số không xác định).

Một hình thức có phần kinh điển khác là hàm giá trị cho các ưu tiên nhạy cảm với rủi ro khi mức tiêu thụ đi theo một bước ngẫu nhiên với sự trôi dạt (cũng có các phiên bản bao gồm cả vốn - xem Backus Ferriere Zin 2014).

$$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$$

Bắt đầu với các tùy chọn được cung cấp dưới dạng Epstein-Zin với hàm tương đương chắc chắn có dạng :$\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

$$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$$

sau đó để cung cấp cho chúng tôi$\rho \rightarrow 0$

$$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$$ $$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$$

Ghi nhật ký cho chúng ta các ưu tiên nhạy cảm với rủi ro như được trình bày trong Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000, v.v ...

Xác định và thì chúng ta thấy rằng:$U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$$\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

$$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$$

Hình thức của hàm giá trị này có thể được đoán là:

$$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$$

Người giới thiệu:

• David Backus, Axelle Ferriere và Stanely Zin. Rủi ro và sự mơ hồ trong các mô hình của chu kỳ kinh doanh. Hội nghị Carnegie-Rochester-NYU. 2014.
• Lars Ljunqvist và Thomas J. Sargent. Lý thuyết kinh tế vĩ mô đệ quy, tái bản lần thứ 3. 2013.
• TD Tallarini Jr. chu kỳ kinh doanh thực tế nhạy cảm với rủi ro. Tạp chí kinh tế tiền tệ. 2000.
• LP Hansen và TJ Sargent. Chiết khấu điều khiển gaussian bậc hai theo cấp số nhân. Điều khiển tự động IEEE Trans. 1995.

Nhận xét bổ sung: Hai trường hợp bạn trình bày ít nhiều được đoán bởi phỏng đoán vì điều này làm giảm các bản ghi dưới dạng . Các dự đoán chắc chắn được gắn với hình thức cụ thể của hàm trả về vì hàm giá trị có liên quan đến hàm trả về một lần (phần thưởng) liên tục thu được trong suốt lịch sử vô hạn (nếu mức tiêu thụ không đổi thì nó sẽ giảm xuống một tổng hình học).$V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$$\sigma \rightarrow 1$