Giúp hiểu biểu thức cho giảm giá liên tục

Trong chú thích 3 của bài báo " Bằng sáng chế, Cuộc sống sáng chế và Bước tiến của công nghệ ", O'Donoghue Scotchmer và Thisse có mức chiết khấu của và viết $r$

Nếu dòng chảy của lợi nhuận kéo dài chiều dài , lợi nhuận giảm là . $\Delta$ $t$ $\Delta(1 − e^{−rt})/r$

Ai đó có thể giải thích biểu thức đến từ đâu không? $\Delta(1 − e^{−rt})/r$

Trong khi tôi quen với việc giảm giá thời gian liên tục, tôi chưa bao giờ thấy nó được xây dựng theo cách này trước đây. Tôi thường mong đợi biểu thức cho lợi nhuận chiết khấu là . $\Delta e^{-rt}$

mathematical-economics continuous-time

— Ubiquitous
nguồn

Từ thời gian đến thời gian dòng chảy lợi nhuận là hằng số . Giá trị chiết khấu của dòng lợi nhuận của bất kỳ trường hợp là $0$ $t$ $\Delta$ $s$ $\Delta \cdot e^{-r s}$ $0$ $t$

\int_{0}^{t} Δ \cdot e^{- r S} d S = = {\frac{Δ \cdot e^{- r S}}{- r}]}_{0}^{t} = = \frac{Δ \cdot e^{- r t}}{- r} - \frac{Δ \cdot e^{- r \cdot 0}}{- r}

$\int_0^t \Delta \cdot e^{-r s} \ ds = \left. \frac{\Delta \cdot e^{-r s}}{-r} \right]_0^t = \frac{\Delta \cdot e^{-r t}}{-r} - \frac{\Delta \cdot e^{-r \cdot 0}}{-r}$

e^{- r \cdot 0} = e^{0} = 1

$e^{-r \cdot 0} = e^0 = 1$

- \frac{Δ \cdot e^{- r t}}{r} + \frac{Δ \cdot 1}{r} = = Δ \cdot \frac{1 - e^{- r t}}{r} .

$- \frac{\Delta \cdot e^{-r t}}{r} + \frac{\Delta \cdot 1}{r} = \Delta \cdot \frac{1 -e^{-r t}}{r}.$

— Giskard
nguồn

Vâng, tôi đã nhầm lẫn dòng chảy với cổ phiếu. Học sinh mắc lỗi! cảm ơn vì đã làm sáng tỏ

— Ubiquitous