Là sở thích đơn điệu và liên tục nhất thiết phải hợp lý?

$\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

Là sự hợp lý của ngụ ý bởi những điều kiện này?$\succsim$

Tôi nghĩ rằng tính siêu việt được ngụ ý bởi sự liên tục. Tuy nhiên, tính đầy đủ là rắc rối, vì có các yếu tố không thể được đặt hàng đối với hoặc và vì vậy chúng tôi không thể sử dụng tính đơn điệu để cho thấy đã hoàn tất.$x,y \in X$$\leq$$\geq$$\succsim$

Tôi đã nghĩ đến việc xây dựng một chuỗi với sao cho và hoặc . Sau đó, bằng tính xuyên suốt và liên tục, chúng tôi có thể chỉ ra rằng và có thể được sắp xếp theo thứ tự đối với , nhưng tôi không nghĩ có thể xây dựng một chuỗi như vậy. x 1 = x x n → y x n ≿ x n + 1 x n + 1 ≿ x n x y $x_{n}$$x_{1}=x$$x_{n} \to y$$x_{n}\succsim x_{n+1}$$x_{n+1} \succsim x_{n}$$x$$y$$\succsim$

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao, nhưng xin vui lòng đưa ra gợi ý và giải pháp không đầy đủ.

Xem xét mối quan hệ ưu tiên trong sao cho và .$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ x 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Bạn có thể tranh luận liệu mối quan hệ sở thích này có đơn điệu và liên tục hay không.

2) Mối quan hệ được xác định ở trên có đầy đủ không?

Sau đó, như một món ăn phụ, bạn cũng có thể xem xét lại tuyên bố của mình rằng sự liên tục là nguyên nhân của tính siêu việt.

Lưu ý: Tôi chỉ viết bài đặc biệt này với mục đích cung cấp một thử nghiệm tư duy. Nhiều hơn trong một cách để thách thức sự hiểu biết của bạn. Tôi không chắc liệu ví dụ này có cung cấp câu trả lời cho câu hỏi của bạn hay không.

Câu hỏi là liệu tính hợp lý được ngụ ý bởi tính liên tục và đơn điệu. Để cho thấy rằng đây không phải là trường hợp, một ví dụ mẫu sẽ đủ. Do đó, chúng tôi đang tìm kiếm một mối quan hệ sở thích liên tục, không đầy đủ, đơn điệu, liên tục.

Giả sử . Do đó, chúng tôi hình thành các ưu tiên trên các điểm của một dòng từ ( 0 , 1 ) đến ( 1 , 0 ) . Hãy xem xét các mối quan hệ ưu tiên xác định bởi ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$ mà không đầy đủ khác.$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Tính hợp lý

Tính hợp lý bao gồm tính đầy đủ và tính xuyên suốt của mối quan hệ ưu tiên, được định nghĩa như sau:

Hoàn thành

Một mối quan hệ ưu tiên hoàn tất, nếu cho tất cả , chúng ta có x ≿ y , y $x,y \in X$$x\succsim y$ hoặc cả hai.$y\succsim x$

, do đó mối quan hệ ưu tiên là không đầy đủ.$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$

Độ xuyên sáng

Một quan hệ sở thích là bắc cầu , nếu và y ≿ z ngụ ý x $x\succsim y$$y \succsim z$ .$x\succsim z$

và ( 0,5 , 0,5 ) ≿ ( 0 , 1 ) giữ nhưng ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( $(1,0)\succsim (.5,.5)$$(.5,.5) \succsim (0,1)$ , do đó mối quan hệ ưu tiên không được bắc cầu.$(1,0)\not \succsim (0,1)$

Liên tục

Một mối quan hệ sở thích là liên tục nếu với tất cả các chuỗi hội tụ đến ( x , y ) với ∀ i : x i ≿ y i ta có x ≿ y .${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

Các mối quan hệ ưu tiên không vi phạm liên tục. Xét một dãy hội tụ đến x , y . Các chuỗi này chỉ có thể sao cho x i = x và y i = y và x ≠ y , vì tất cả các x i , y i khác không hội tụ thành x , y hoặc không hoàn thành x i ≿ y i . Nhưng rõ ràng nếu tôi sau đó x $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$$x_i\succsim y_i$ .$x\succsim y$

Tính đơn điệu

Một quan hệ sở thích là đơn điệu, nếu ngụ ý x ≿ y .$x \geq y$$x \succsim y$

Các liên quan xem xét tất cả các yếu tố của X có một không hai, do đó mối quan hệ ưu tiên là đơn điệu.$\geq$$X$

Vì vậy, chúng tôi có một mối quan hệ ưu tiên nội bộ, không đầy đủ, đơn điệu, liên tục.

Tính chuyển đổi của sở thích hấp dẫn một số khái niệm "trực quan" về "tính nhất quán của tâm trí con người" và có thể lập luận rằng bất kỳ trường hợp ngoại lệ nào là "ngoại lệ cho quy tắc ", và vì vậy chúng tôi làm có một nguyên tắc trừu tượng đầy đủ.

Trong so sánh, Hoàn thành là một "bước nhảy đức tin" nhiều hơn. Nó lơ lửng trong không trung, xuất phát từ không có gì, không liên quan gì ( vì vậy câu trả lời cho câu hỏi của bạn là không ). Có lẽ nó có thể được hỗ trợ bởi một số nhận xét khiếm nhã rằng "nếu bạn nhấn một người đủ, thì cuối cùng anh ta sẽ ra lệnh cho bất kỳ cặp nào bạn sẽ đặt trước mặt anh ta, ngay cả khi chỉ để thoát khỏi bạn", nhưng tất nhiên, trong khi tìm kiếm giỏi trong thực tế, sẽ không bao giờ làm việc trong lý thuyết.

Vì vậy, chúng tôi chỉ định nghĩa Hoàn thành để tồn tại ... tại sao? Để tránh các vấn đề khá khó kiểm soát xuống đường. Làm thế nào hữu ích để làm việc với các sở thích không đầy đủ? Sẽ hữu ích như thế nào khi nói "Tôi có mô hình này, nó có thể dẫn đến kết quả, nó có thể không, tùy thuộc vào việc sở thích đã hoàn thành hay chưa" ... việc sử dụng nó là gì? Sau đó, chúng tôi sẽ buộc phải đưa ra một quy tắc quyết định thay thế : "Giả sử rằng sở thích chưa hoàn thành, thì nếu người đó gặp một cặp mà anh ta không thể đặt hàng ..." gì ? Lật một đồng xu? Nhưng điều này sẽ làm cho "sự không hoàn hảo" tương đương với sự thờ ơ ...

Còn gì nữa không Dòng suy nghĩ này có thể rất kích thích, nhưng nó cũng rất thách thức và chắc chắn phá vỡ con đường, nếu thực sự, một con đường như vậy tồn tại hoặc có thể được tạo ra. (Theo tôi, nhiều khám phá lý thuyết khác nhau về giống "mờ" cố gắng tìm "đường giữa" cho chính xác vấn đề này - ở đâu họ xem xét một tình huống mà người đó không có sở thích hoàn chỉnh, cũng không hoàn toàn "đóng băng" khi gặp "khó khăn" "Cặp đôi đi lên).