Giả định tính quy tắc trong định giá tài sản dựa trên tiêu dùng

Xem xét một vấn đề tối đa hóa tiêu dùng đại diện thời gian riêng biệt rất cơ bản với tiện ích CRRA. Tồn tại một tài sản rủi ro với thời gian giá trả thời gian cổ tức , và một tài sản rủi ro với giá trả một khoản chi trả không đổi 1 tại . Chúng tôi giả định rằng cổ tức là một chuỗi các biến ngẫu nhiên tuân theo quy trình Markov. Giả sử thêm rằng người tiêu dùng không có dòng thu nhập khác (ví dụ ). Tại thời điểm t người tiêu dùng đầu tư số tiền $t$ $p_t$ $t+1$ $d_{t+1}$ $p_t^f$ $t+1$ $y_t = 0 \ \forall t$ trong tài sản rủi ro và lượng trong tài sản rủi ro. Do đó, vấn đề tối đa hóa có thể được nêu là $\pi_t$ $\pi_t^0$

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

Nói rằng chúng tôi muốn tìm tỷ lệ rủi ro cân bằng và phí bảo hiểm vốn chủ sở hữu dự kiến. Để đóng mô hình, người ta thường giả định (xem ví dụ cuốn sách Lý thuyết định giá tài sản tài chính của Claus Munk chương 8.3) rằng tăng trưởng tiêu dùng log và lợi nhuận gộp rủi ro log được phân phối chung. I E

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

nơi lợi nhuận gộp của được xác định là

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

Điều tôi không hoàn toàn hiểu là các giả định phân phối bình thường "đến từ đâu". Tôi biết rằng vì đây là nền kinh tế đại lý, tiêu dùng của đại lý phải bằng cổ tức tổng hợp trong nền kinh tế. Nhưng vì chúng tôi giả định rằng không có thu nhập, , quá trình cổ tức ngoại sinh duy nhất trong nền kinh tế là và do đó nó sẽ có cùng phân phối với tăng trưởng tiêu dùng. Tuy nhiên, ấn tượng của tôi là khi chúng ta nói tỷ lệ rủi ro có phân phối log-log bình thường, điều này thực sự có nghĩa là quá trình chia cổ tức, vì đó là 'phần ngẫu nhiên' trong định nghĩa lợi nhuận (giá $y_t = 0 \ \forall t$ $d_t$ $p_{t+1}$ không ngoại sinh nhưng được xác định bên trong mô hình). Đối với tôi có vẻ như bây giờ chúng tôi đã đưa ra hai giả định khác nhau về cùng một quy trình tài trợ . Trường hợp giả định cho tiêu dùng đến từ đâu hoặc nó đại diện cho cái gì? Tình hình sẽ thay đổi như thế nào nếu người tiêu dùng có một dòng thu nhập ? $d_t$ $y_t > 0$

macroeconomics consumer-theory asset-pricing

— vvv
nguồn

Câu trả lời:

Lagrangian hai kỳ điển hình là

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

$c_t, \pi_t$

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

và do đó, sử dụng định nghĩa của tổng lợi nhuận,

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

Kết hợp và chúng ta nhận được $(1)$ $(3)$

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

Vì vậy, chúng tôi thấy rằng ở con đường tối ưu, tăng trưởng tiêu dùng là một hàm affine trực tiếp của lợi nhuận rủi ro log. Điều này trong số những điều khác ngụ ý rằng hệ số tương quan của chúng là bằng sự thống nhất.

Phân phối bình thường được đóng dưới các biến đổi affine (cách khác, theo tỷ lệ và dịch chuyển), vì vậy nếu chúng ta giả sử rằng lợi nhuận rủi ro log được phân phối bình thường, thì tăng trưởng tiêu dùng cũng được phân phối bình thường (tất nhiên với trung bình và phương sai khác nhau).

$Y$ $X = a+bY$

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

$(\delta_1, \delta_2)$ $\delta_1X + \delta_2 Y$ $Y$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Đây là một câu trả lời cũ, nhưng như đã nêu câu trả lời này là sai. Bạn phải cẩn thận khi sử dụng hệ số nhân Lagrange với sự có mặt của các yếu tố ngẫu nhiên. Nếu bạn thực hiện tính toán đúng, bạn chỉ kết thúc với phương trình định giá tài sản tiêu chuẩn

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$

s + 1

$s+1$

2

$2$

s

$s$

t + 1

$t+1$

t + 1

$t+1$

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$

m R = 1

$mR = 1$

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$

@ Starfall hmm ... vấn đề ở đây là các bản phân phối thực sự tuân theo, không phải là giải pháp cũ ... Tôi sẽ suy nghĩ kỹ và giải thích sau.

— Alecos Papadopoulos

Gần đây tôi đã sản xuất một bài báo lấy phân phối lợi nhuận cho tất cả các loại tài sản và trách nhiệm pháp lý. Lợi nhuận log-normal chỉ xuất hiện trong hai trường hợp. Đầu tiên là với trái phiếu chiết khấu một kỳ, lần thứ hai với sáp nhập bằng tiền mặt. Nó xuất phát từ một giả định, tôi tin rằng ban đầu bởi Boness để loại bỏ vấn đề ở Markowitz về giá cả vô cùng tiêu cực. Mặc dù nó có nguồn gốc hợp lý, nó có một giả định quan trọng khiến nó nói chung không đúng sự thật.

$\mu$ $\bar{x}$

Khó khăn xảy ra khi các thông số không được biết. Nó chỉ ra rằng bằng chứng sụp đổ mà không có giả định đó, nói chung. Điều tương tự cũng đúng với Black-Scholes. Tôi đang trình bày một bài báo tại hội nghị SWFA vào mùa xuân năm nay, nơi tôi lập luận rằng nếu các giả định của công thức Black-Scholes đúng theo nghĩa đen, thì không thể tồn tại một công cụ ước tính hội tụ đến tham số dân số. Mọi người chỉ giả định công thức theo kiến thức hoàn hảo bằng công cụ ước tính tham số. Không ai từng thực sự kiểm tra tài sản của nó. Trong bài báo ban đầu của họ, Black và Scholes đã thử nghiệm theo công thức của họ và họ báo cáo rằng nó không hoạt động. Một khi bạn bỏ giả định rằng các tham số đã biết, toán học sẽ xuất hiện khác nhau. Đủ khác nhau để không thể nghĩ về nó theo cùng một cách.

$\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ $p_t$ $p_t^*$

$(q_t,q_{t+1})$

$r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

$(p_t^*,p_{t+1}^*)$ $(0,0)$ $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

Vì không có ý nghĩa, bạn không thể thực hiện các kỳ vọng, thực hiện tại hoặc kiểm tra F, sử dụng bất kỳ hình thức bình phương tối thiểu nào. Tất nhiên, điều này sẽ khác nếu nó là đồ cổ thay thế.

Nếu đó là đồ cổ trong một cuộc đấu giá, lời nguyền của người chiến thắng có được. Người trả giá cao thắng thầu và mật độ giới hạn của giá thầu cao là phân phối Gumbel. Vì vậy, bạn sẽ giải quyết cùng một vấn đề nhưng là tỷ lệ của hai phân phối Gumbel thay vì hai phân phối bình thường.

Vấn đề không thực sự đơn giản. Giới hạn của trách nhiệm cắt ngắn tất cả các phân phối cơ bản. Ràng buộc ngân sách liên ngành làm lệch tất cả các phân phối cơ bản. Có một phân phối khác nhau cho cổ tức, sáp nhập để lấy tiền mặt, sáp nhập cho cổ phiếu hoặc tài sản, phá sản và phân phối Cauchy bị cắt ngắn vì những lo ngại như trên. Có sáu loại phân phối có mặt cho chứng khoán vốn trong một hỗn hợp.

Các thị trường khác nhau với các quy tắc khác nhau và các trạng thái tồn tại khác nhau tạo ra các phân phối khác nhau. Một chiếc bình cổ có trường hợp nó bị rơi và vỡ. Nó cũng có trường hợp hao mòn hoặc một số thay đổi khác về chất lượng nội tại. Cuối cùng, nó cũng có trường hợp nếu đủ các bình tương tự bị phá hủy mà trung tâm của vị trí di chuyển.

Cuối cùng, do cắt ngắn và thiếu một số liệu thống kê đầy đủ cho các tham số, không tồn tại một công cụ ước tính phi Bayes có thể tính toán và được chấp nhận.

Bạn có thể tìm thấy một dẫn xuất của tỷ lệ của hai biến thể bình thường và một lời giải thích tại http://mathworld.wolfram.com/N normalRatioDistribution.html

Bạn cũng có thể tìm thấy những gì dường như là bài báo đầu tiên về chủ đề này tại

Curtiss, JH (1941) Về phân phối số nguyên của hai biến số cơ hội. Biên niên sử thống kê toán học, 12, 409-421.

Ngoài ra còn có một bài báo tiếp theo tại

Gurland, J. (1948) Các công thức đảo ngược để phân phối tỷ lệ. Biên niên sử thống kê toán học, 19, 228-237

Đối với hình thức tự động cho các phương pháp Likabilitiesist và Thường xuyên tại

White, JS (1958) Phân phối giới hạn của hệ số tương quan nối tiếp trong trường hợp nổ. Biên niên sử thống kê toán học, 29, 1188-1197,

và khái quát của nó bởi Rao tại

Rao, MM (1961) Phân phối nhất quán và giới hạn các ước lượng của các tham số trong các phương trình khác biệt ngẫu nhiên ngẫu nhiên bùng nổ. Biên niên sử thống kê toán học, 32, 195-218

Bài viết của tôi lấy bốn bài báo này và các bài báo khác, chẳng hạn như một bài báo của Koopman và một của Jaynes, để xây dựng các bản phân phối nếu các tham số thực sự không xác định. Nó quan sát thấy rằng Sách trắng ở trên có cách giải thích Bayes và cho phép giải pháp Bayes mặc dù không có giải pháp phi Bayes nào tồn tại.

$\log(R)$ có giá trị trung bình và phương sai hữu hạn, nhưng không có cấu trúc hiệp phương sai. Phân phối là phân phối hyperbolic secant. Điều này cũng là do một kết quả nổi tiếng trong thống kê. Nó thực sự không thể là một phân phối bảo mật hyperbolic vì các trường hợp phụ như phá sản, sáp nhập và cổ tức. Các trường hợp tồn tại là phụ gia, nhưng nhật ký ngụ ý lỗi nhân.

Bạn có thể tìm thấy một bài viết về phân phối secbol hyperbol tại

Đinh, P. (2014) Ba lần xuất hiện của phân phối Hyperbolic-Secant. Thống kê người Mỹ, 68, 32-35

Bài viết của tôi là tại

Harris, D. (2017) Phân phối lợi nhuận. Tạp chí Tài chính toán học, 7, 769-804

Trước khi bạn đọc của tôi, bạn nên đọc bốn giấy tờ trên trước. Cũng sẽ không đau khi đọc ET Jaynes tome. Thật không may, đó là một công việc chính trị, nhưng dù sao nó cũng nghiêm ngặt. Cuốn sách của ông là:

Jaynes, ET (2003) Lý thuyết xác suất: Ngôn ngữ của khoa học. Nhà xuất bản Đại học Cambridge, Cambridge, 205-207

— Dave Harris
nguồn