Giải thích trực quan về

Bất cứ ai cũng có thể cung cấp một lời giải thích trực quan về lý do tại sao ma trận Slutsky nhân với vectơ giá mang lại một ma trận bằng không?

Tôi biết điều này là đúng nhưng tôi không thực sự hiểu tại sao nó lại đúng. Bất cứ ai có thể giúp đỡ ở đây?

Đây là một tính chất toán học chung của ma trận đạo hàm thứ hai / Hessian của các hàm đa biến có tính đồng nhất của bậc một.

Hàm chi tiêu là đồng nhất của mức một trong giá cả. Tại sao? Nếu tất cả giá thay đổi theo cùng một tỷ lệ (đó là cách chúng tôi kiểm tra tính chất toán học của tính đồng nhất), giá tương đối không thay đổi. Nếu giá tương đối không thay đổi, thành phần định lượng của gói tiêu thụ tối thiểu chi phí bồi thường để đạt được một tiện ích nhất định không thay đổi chút nào . Sau đó, vì tất cả các mức giá đều tăng theo cùng một tỷ lệ, cổ phiếu ngân sách vẫn giữ nguyên và Chi phí cần thiết để đạt được cùng một tiện ích, tăng theo tỷ lệ tương tự: tính đồng nhất của mức độ một.$E$

Bằng cách nhị nguyên, vector nhu cầu Hicksian là gradient của hàm chi tiêu, .$H = \nabla_p E$

Vectơ nhu cầu Hicksian, cung cấp cho chúng ta số lượng chi phí tối thiểu được yêu cầu. Do tính đồng nhất của mức độ một của hàm Chi tiêu, sản phẩm bên trong của vectơ nhu cầu Hicksian nhân với vectơ giá bằng với hàm Chi tiêu. Điều này cũng phải trực quan: chúng tôi chỉ cần nhân mỗi số lượng được yêu cầu theo đơn giá phải trả cho nó, và bằng cách tính tổng các sản phẩm này, chúng tôi có được Tổng chi phí, chúng tôi phải chịu để có được gói chi phí tối thiểu cho tiện ích cụ thể.

$E = H\cdot p$$\frac {\partial}{\partial p}E = H$

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

và nó phải là trường hợp

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

$k$$k-1$

$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$$S(w,p) \cdot p = 0$

Vì vậy, kết quả bắt nguồn từ tính đồng nhất của mức độ một của hàm Chi tiêu. Có một lời giải thích trực quan, tương tự với trực giác đằng sau sự đồng nhất của mức độ một của hàm Chi tiêu? Chà, cái trước xuất phát trực tiếp từ cái sau, nên rất khó để đưa ra một lập luận trực quan "riêng biệt". Người ta có thể nói một cách không chính thức rằng số lượng bù được yêu cầu là "độc lập" với (không bị ảnh hưởng bởi) sự thay đổi giá khi giá tương đối giữ nguyên. Sau đó, theo thuật ngữ hình học, điều này có nghĩa là các vectơ thay đổi số lượng bù được yêu cầu (đó là những gì mỗi hàng của ma trận Slutsky chứa), trực giao với vectơ giá.

Tôi không biết liệu bạn sẽ coi đây là một lời giải thích hay đúng hơn là một bằng chứng.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$p^\ast$$\delta$

$$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

$$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$$

$\mathbf{p^\ast}$$\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$${p_j^\ast}$$\Delta \times {p_j^\ast}$$h_i$$\delta$$\Delta \mathbf{p^\ast}$$S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Nói cách khác, vì nhu cầu của Hicksian đối với bất kỳ hàng hóa nào không đáp ứng với sự thay đổi về giá giữ cho giá tương đối như nhau, nên nếu chúng ta xem xét tổng số các tác động của từng thay đổi về giá này, chúng ta nên quan sát 0 thay đổi.

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$$D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$$p'x(p,w)=w$$x(p,w)'p=w$$S(p,w)p=0$