Chức năng CES sản xuất với

10

Khi sử dụng chức năng sản xuất CES có dạng $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ , chúng tôi luôn cho rằng $\rho\leq1$ . Tại sao chúng ta đưa ra giả định đó? Tôi hiểu rằng nếu $\rho>1$ , hàm sản xuất sẽ không lõm nữa (và do đó bộ sản xuất sẽ không được lồi), nhưng những gì hiện có ngụ ý về chức năng lợi nhuận và chi phí?

— Cảnh sát trưởng Afghanistan
nguồn

3

ρ

$\rho$ trên người ta sẽ dẫn đến một giải pháp góc mà chỉ có một đầu vào được lựa chọn với số lượng tích cực. Vì điểm của các hàm sản xuất đa năng thường là mô hình hóa các trường hợp trong đó hai đầu vào thực sự được sử dụng, đây là một tính năng không mong muốn.

— BKay

Sẽ có một giải pháp cho lợi nhuận tối đa vấn đề?

— Sher Afghanistan

@SherAfghan, hàm tuyến tính với

ρ = 1

$\rho = 1$ dường như không được ở CES gia đình, như độ đàn hồi của nó thay thế phải là không đổi.

— garej

3

Vấn đề với là nó có nghĩa là sản phẩm biên của yếu tố không giảm ( ) hoặc liên tục ( ) nhưng ngày càng tăng, đó là một giả định lẻ. Các hàm như vậy mang lại các đồng phân lõm và có thể dẫn đến chỉ một yếu tố được sử dụng (như BKay đã nói). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Như trong bất kỳ CES chung nào, sản phẩm cận biên của yếu tố là $x_i$

M P_{Tôi} = = {(\frac{y}{x_{Tôi}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

Đạo hàm của MP này đối với là, sau khi sắp xếp lại, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{Tôi}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- Tôi}}{x_{Tôi} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Đối với , biểu thức này là dương, có nghĩa là năng suất của một yếu tố tăng lên khi sử dụng nhiều yếu tố đó. $\rho>1$

Liên quan đến các đồng phân, bạn có thể tìm thấy các giá trị này bằng cách viết lại hàm sản xuất là . Trong CES chung, đây là $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

Đây là tuyến tính trong trường hợp , lồi trong trường hợp của Cobb-Douglas (trong đó các chức năng trên là $\rho=1$ , một hyperbole) và lõm trong trường hợp. Ví dụ, chọnvà bạn có: $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

đó là công thức của một đường tròn có tâm tại , với bán kính . Thông thường, đối với lý thuyết sản xuất, chỉ có là thú vị, nó cung cấp cho bạn các đồng phân lõm cho các cấp độ khác nhau . Hình dưới đây cho thấy một ví dụ, là cho một tỷ lệ giá yếu tố nhất định, có một giải pháp góc (điểm A): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Mã để sao chép hình ở đây )

— luchonacho
nguồn

3

Đây là nỗ lực của tôi cho câu hỏi này, nó không đầy đủ và / hoặc không chính xác vì vậy vui lòng giúp đưa ra đề xuất và tôi sẽ chỉnh sửa câu hỏi này.

Tối thiểu hóa chi phí

Vì không phải là gần như lõm, nên các đường cong đẳng hướng tương ứng sẽ không bị lồi tới gốc (tức là tập hợp đường viền trên của chúng sẽ không bị lồi). Trong trường hợp này, công ty nên sử dụng giải pháp góc và nhu cầu yếu tố có điều kiện sẽ được đưa ra như; $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = = q^{2} một n d x_{2} (p, y) = = 0 Tôi f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = = 0 một n d x_{2} (p, y) = = q^{2} Tôi f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

Những nhu cầu nhân tố có điều kiện này cung cấp cho hàm chi phí;

Tối đa hóa lợi nhuận

x_{1} (p, y) = = 0, x_{2} (p, y) = = q^{2} o r x_{1} (p, y) = = q^{2}, x_{2} (p, y) = = 0 Tôi f w_{1} = = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = = m Tôi n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

Tôi thực sự bối rối ở đây. Mặc dù hàm sản xuất là lồi nhưng nó vẫn thể hiện lợi nhuận không tăng theo tỷ lệ. $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Cảnh sát trưởng Afghanistan
nguồn

1

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

1

Việc một giải pháp cho vấn đề tối đa hóa lợi nhuận có tồn tại hay không phụ thuộc vào cấu trúc thị trường. Vấn đề tối đa hóa lợi nhuận của một nhà độc quyền thường vẫn được xác định rõ, trong khi đối với các công ty lấy giá thì điều này sẽ không xảy ra.

— HRSE

0

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

Để xem hiệu ứng tương tự trong một ví dụ đơn giản hơn ( không bắt nguồn từ CES), hãy xem xét điều này:

π (q) = = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

$\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

$q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
nguồn