Phân bổ công bằng và hiệu quả của hàng hóa gia đình

8

Hãy xem xét một nền kinh tế trao đổi với hai hàng hóa, ví dụ đồ nội thất gia đình (x) và thiết bị điện (y). Điều thú vị về những hàng hóa này là, khi một gia đình sở hữu một gói, tất cả các thành viên trong gia đình đều được hưởng cùng một gói (nó giống như một "câu lạc bộ tốt" nhưng chỉ dành cho gia đình).

Có hai gia đình. Trong mỗi gia đình, có những thành viên khác nhau với các sở thích khác nhau trên các gói. Giả sử rằng tất cả các ưu tiên đều tăng đơn điệu và lồi hoàn toàn.

Một phân bổ là một cặp bó, cho gia đình 1 và cho gia đình 2. $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

Một phân bổ được gọi là ghen tị miễn phí nếu:

Tất cả các thành viên trong gia đình 1 tin rằng ít nhất là tốt như ; $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
Tất cả các thành viên của gia đình 2 tin rằng ít nhất là tốt như . $(x_2,y_2)$ $(x_1,y_1)$

Một phân bổ được gọi là Pareto-hiệu quả nếu không có sự phân bổ các gói khác cho các gia đình sao cho tất cả các thành viên của tất cả các gia đình đều thích và ít nhất một thành viên của một gia đình hoàn toàn thích.

Trong những điều kiện nào phân bổ không ghen tị hiệu quả Pareto tồn tại?

Nếu mỗi gia đình có một thành viên duy nhất, thì tồn tại sự phân bổ không ghen tị hiệu quả Pareto; đây là một định lý nổi tiếng của Varian . Định lý này đã được khái quát từ cá nhân đến gia đình?

— Erel Segal-Halevi
nguồn

Định nghĩa rất mạnh mẽ của ghen tị Người ta sẽ đoán bạn bằng cách nào đó sẽ tổng hợp các ưu tiên trước và sau đó cho rằng không có sự đố kị theo sở thích tổng hợp.

— Giskard

@denesp thực sự, tôi đã nghĩ về việc tổng hợp các sở thích, ví dụ như sử dụng chức năng phúc lợi xã hội. Nhưng, mỗi lựa chọn của một chức năng như vậy sẽ là tùy ý và không đủ động lực.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Bạn có muốn chúng tôi cũng cho rằng tiện ích của mỗi thành viên trong mỗi gia đình đang tăng mạnh về số lượng và mà gia đình họ nhận được không? Nếu vậy, tôi có một điều kiện rất không thỏa mãn với bạn, theo đó tồn tại sự phân bổ không có sự đố kị, hiệu quả của Pareto: Giả sử rằng, đối với mỗi gia đình, mỗi thành viên trong gia đình đó có cùng sở thích ...: P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@Shane yếu đơn điệu có vẻ như là một giả định hợp lý. Nếu, trong mỗi gia đình, tất cả các thành viên đều có cùng sở thích, thì mỗi gia đình thực sự giống như một tác nhân duy nhất, vì vậy chúng tôi quay lại cài đặt tiêu chuẩn ...

— Erel Segal-Halevi

Còn trường hợp và thì sao? Giả sử tính đơn điệu yếu, thì đây phải là Pareto và không ghen tị. Từ đó, chúng ta có thể thực hiện một số thay đổi nhỏ của epsilon?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kỵ binh Kitsune

2

Ngay bây giờ tôi không chắc chắn về sự tương đương của việc dán nhãn lại, và do đó tính hữu dụng của anwer này - xem bình luận bên dưới.

Đây là khởi đầu của một câu trả lời và một nỗ lực để chứng minh các giả định cần thiết sẽ phải mạnh đến mức nào để đảm bảo sự tồn tại.

Hãy biến vấn đề thành một vấn đề tương đương nhưng dễ xử lý hơn một chút. Thay vì lập chỉ mục theo gia đình, thay vào đó hãy lập chỉ mục cho các đại lý (thành viên của gia đình). Chìa khóa cho việc dán nhãn này là hiểu rằng các gia đình có thể được viết dưới dạng các ràng buộc: Nếu các tác nhân và thuộc về cùng một gia đình, thì và . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Bây giờ chúng tôi trở lại trong môi trường tiêu chuẩn với các tác nhân riêng lẻ (không phải gia đình) nhưng với những hạn chế gia đình này. Nhớ lại bằng chứng về định lý của Varian, mà bạn liên kết trong câu hỏi. Nó sử dụng sự tồn tại của một trạng thái cân bằng cạnh tranh từ thu nhập bằng nhau. Trong bối cảnh này, chúng ta sẽ cần sự tồn tại của một trạng thái cân bằng cạnh tranh từ thu nhập bình đẳng, trong đó các ràng buộc gia đình cũng được đáp ứng. Điều này sẽ rất khó để làm. Chẳng hạn, coi và là trong một gia đình và trong đó là nhỏ. Những sở thích này là đơn điệu và lồi. Về cơ bản, một thành viên trong gia đình quan tâm đến và những người khác quan tâm đến $i$ $j$

{bạn}_{Tôi} = = x_{Tôi} + ε y_{Tôi} và {bạn}_{j} = = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$ . Nếu mỗi trong hai đại lý mua và để tối đa hóa tiện ích của họ, bạn sẽ không mong đợi hoặc trong trạng thái cân bằng cạnh tranh (xem phần phụ lục cuối).

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

Đây là lý do tại sao bạn chắc chắn cần một số giả định về sự tương đồng về sở thích trong các gia đình (ít nhất là để sử dụng một phiên bản bằng chứng của Varian). Ý thức của tôi là nếu bạn cho tôi bất kỳ sự khác biệt nhỏ nào về sở thích giữa các thành viên trong gia đình, tôi có thể xây dựng một ví dụ xung quanh nó, nơi không tồn tại CEEI trong đó họ chọn phân bổ giống nhau. Và sau đó, ít nhất, bạn không thể sử dụng bằng chứng của Varian.

Hai câu hỏi:

Bạn có đồng ý rằng việc cải cách vấn đề của tôi chính thức tương đương với bạn không?
Bạn có thể nghĩ về bất kỳ giả định nào yếu hơn giả định tính đồng nhất ưu tiên trong gia đình mà tôi có thể cố gắng làm mất hiệu lực bằng một ví dụ ngược lại không?

Phụ lục: Hãy nhớ rằng ở trạng thái cân bằng cạnh tranh, tỷ lệ thay thế biên của mỗi đại lý (MRS) bằng với tỷ lệ giá. Ở đây, các đại lý của tôi có các MRS không đổi và khác nhau, do đó không thể tồn tại trạng thái cân bằng cạnh tranh với tỷ lệ giá bằng cả hai MRS của họ. Nếu mỗi đại lý có MRS khác nhau, thì có lẽ họ có thể xảy ra bằng nhau ở tỷ lệ giá cân bằng. Vì vậy, có lẽ bạn có thể thoát khỏi một số khái niệm về sự đồng nhất địa phương của các sở thích gia đình. Nhưng bạn cần phải có chúng đồng nhất cục bộ ở trạng thái cân bằng cạnh tranh, đó chính xác là những gì bạn đang cố chứng minh tồn tại, vì vậy nó sẽ là một vòng tròn.

Lưu ý quan trọng: Như đã đề cập trước đây, tôi giả định rằng cách duy nhất để chứng minh sự tồn tại là cách Varian thực hiện nó, thông qua CEEI. Có thể có các kỹ thuật bằng chứng khác khắc phục những vấn đề này, nhưng tôi nghi ngờ là không.

Ngoài CEEI: Như OP chỉ ra trong các bình luận, việc chứng minh sự tồn tại của PEEF thông qua CEEI như Varian thực hiện có phần hạn chế. Tôi không có nhiều điều để nói về việc chứng minh sự tồn tại của PEEF trực tiếp, nhưng những điều sau đây là dễ thấy: Đối với bất kỳ phân bổ nào đáp ứng điều kiện hiệu quả Pareto của bạn (bỏ qua sự đố kị trong lúc này), đối với mọi sao cho , $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{Tôi} = = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Nếu điều này không đúng, sẽ có cải tiến Pareto. Cân bằng cạnh tranh về cơ bản tương đương với MRS thông qua tỷ lệ giá, nhưng bạn vẫn cần đánh đồng các MRS này chỉ để tìm phân bổ hiệu quả Pareto. Tôi nghĩ rằng các ràng buộc gia đình sẽ làm cho điều này trở nên rất khó khăn - không khó để đưa ra một ràng buộc về môi trường và gia đình sao cho không tồn tại trạng thái cân bằng hiệu quả Pareto thỏa mãn những hạn chế đó. Trong mọi trường hợp, đây có thể là một bước nữa đối với câu trả lời: Hãy quên đi sự đố kị. Trước tiên, hãy thử đưa ra một giả định về sở thích (và có thể về các ràng buộc gia đình) để đảm bảo sự tồn tại của phân bổ hiệu quả Pareto thỏa mãn các ràng buộc gia đình. Rồi lo lắng về sự đố kị.

— Shane
nguồn

1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

Tôi đã tìm thấy trong bài báo gốc của Varian: scTHERirect.com/science/article/pii/0022053174900751 bằng chứng về sự tồn tại của phân bổ PEEF, không dựa vào CEEI và do đó không hợp lệ ngay cả trong trường hợp không có CEEI lồi hoàn toàn). Cho đến nay, tôi đã không quản lý để hiểu những bằng chứng này, nhưng chúng có thể có liên quan.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Trong ví dụ của bạn, bất kỳ phân bổ nào trong đó cả hai đại lý đều nhận được số lượng tích cực của cả hai hàng hóa là Pareto không hiệu quả, phải không? Tôi đang đấu tranh để hiểu phạm vi của bạn. Nói chung, mặc dù, tôi đồng ý với bạn. Tôi đã thêm một phần bổ sung về việc chứng minh PEEF trực tiếp (không có CEEI). Tôi không nghĩ bạn sẽ thấy nó đặc biệt thỏa mãn, nhưng đó là tất cả những gì hiển nhiên đối với tôi ngay bây giờ.

— Shane

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , không phải 2. Bây giờ tôi đang đặt câu hỏi về sự tương đương của việc dán nhãn lại. Các gia đình không chỉ là một ràng buộc (trong đó mọi người phải chia sẻ cùng một hàng hóa), họ cũng là một lợi ích, trong đó hàng hóa được công khai / chia sẻ trong gia đình.

— Shane

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{bạn} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

$\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

$\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
nguồn

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Tất cả các thành viên của gia đình U có MRS cao hơn thì tất cả các thành viên của gia đình V.

— Amit

Tôi nghĩ rằng đối với 2 gia đình và sở thích tuyến tính, yêu cầu này có thể được gỡ bỏ. Tôi phải làm việc trên các chi tiết chưa.

— Erel Segal-Halevi

Tôi nghĩ rằng sẽ rất khó để loại bỏ yêu cầu này bởi vì chúng tôi muốn phân bổ được ghen tị miễn phí. Các điều kiện có thể không xuất hiện gọn gàng ngay cả khi bằng cách nào đó nó được thư giãn. Nhưng kết quả này giữ cho một lớp lớn hơn của các chức năng tiện ích. Sẽ là một ý tưởng tốt để mở rộng kết quả để bao gồm các ưu tiên của loại khác. Ví dụ: Một phiên bản của nó cũng có thể được chứng minh cho các ưu tiên Cobb Douglas.

— Amit

1

Giả sử sở thích của tất cả các đại lý trong tất cả các gia đình là đơn điệu và lồi (các giả định tiêu chuẩn của lý thuyết người tiêu dùng).

Sau đó, phân bổ không ghen tị hiệu quả Pareto luôn tồn tại khi có hai gia đình. Tuy nhiên, nó có thể không tồn tại khi có ba hoặc nhiều gia đình.

Bằng chứng và ví dụ có thể được tìm thấy trong bài viết này .

— Erel Segal-Halevi
nguồn

-2

Báo cáo vấn đề dường như ngụ ý rằng X và Y không thể thay thế (một thiết bị điện không thể được sử dụng làm đồ nội thất gia đình).

Phân bổ không ghen tị hiệu quả Pareto tồn tại khi:

Đối với ít nhất một đại lý, ít nhất một số hàng hóa có tiện ích tiêu cực hoặc là bổ sung, và các đại lý có thể chọn không tiêu thụ.

Thí dụ:

Đại lý A và B thuộc họ F1.
Chức năng tiện ích của tác nhân A là:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

Chức năng tiện ích của tác nhân B là:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Đại lý C và D ở trong gia đình 2.
Tác nhân C có chức năng tiện ích:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

Tác nhân D có chức năng tiện ích:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Giải pháp:

F1 thích (X1, Y1) và tác nhân A sẽ chọn không tiêu thụ bất kỳ hàng hóa nào.

F2 thích (X2, Y2) và tác nhân C được chọn để không tiêu thụ bất kỳ hàng hóa nào.

Đây thực sự là những đối số ngữ nghĩa và không có trạng thái cân bằng có ý nghĩa mà không giả sử sở thích chung.

— Sims DJ
nguồn

Có lẽ bạn có thể làm cho tuyên bố của bạn chính xác hơn? Ví dụ, "bổ sung tiêu cực" là gì? Và vui lòng cung cấp ít nhất một lập luận heuristic hỗ trợ cho các yêu cầu, nếu không phải là bằng chứng đầy đủ, để chúng tôi có thể hiểu lý lẽ của bạn.

— Shane

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Chỉnh sửa câu trả lời. Bạn đang đúng về điểm thứ hai. Nếu các tác nhân được yêu cầu tiêu thụ thì đối số không áp dụng.

— DJ Sims