Chứng minh rằng

Định nghĩa và công cụ:

Hãy xem xét một không gian xác suất lọc nơi$(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

Đây là biện pháp trung lập rủi ro .

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

nơi là tiêu chuẩn P = ~ $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$$\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$ chuyển động -Brownian.

Cân nhắc nơi$M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

Xác định biện pháp chuyển tiếp :$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

nơi là quá trình tốc độ ngắn và { P ( t , T ) } t ∈ [ 0 , T $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$$\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ là giá trái phiếu tại thời điểm t.

Có thể chỉ ra rằng là một ( F t , P ) - martingale trong đó động lực giá trái phiếu được đưa ra là:$\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

Ở đâu

1. và ξ t là F t -adapted$r_t$$\xi_t$$\mathscr F_t$

2. thỏa mãn điều kiện Novikov (Tôi không nghĩ ξ t được cho là đại diện cho bất cứ điều gì đặc biệt)$\xi_t$$\xi_t$

---

Vấn đề:

Xác định quá trình ngẫu nhiên st$W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Sử dụng Định lý Girsanov để chứng minh:

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

---

Những gì tôi đã cố gắng:

Kể từ khi điều kiện đáp ứng Novikov,$\xi_t$

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

là một martingale.$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Theo định lý Girsanov,

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

Tôi đoán rằng chúng ta có là Chuyển động Q -Brownian tiêu chuẩn nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng$W_t^{\mathbb Q}$$\mathbb Q$

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

Tôi đã mất ghi chú của mình, nhưng tôi nghĩ rằng tôi có thể hiển thị bằng cách sử dụng bổ đề của Ito

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

Từ những người tôi suy luận rằng

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

Có đúng không?

(Nhìn vào câu hỏi và ký hiệu được sử dụng chặt chẽ hơn, công thức dường như có vấn đề ở một vài nơi.)

Sự thật chung

$W$$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$$(L_t)_{t \in [0,T]}$

$$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$$ $L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$$L_t$$\mathbb{Q}$ $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ $\mathbb{Q}$ $$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$$W^{\lambda}$$\mathbb{Q}$$L W^{\lambda}$$\mathbb{P}$

$$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$$ $\lambda = - \psi$$W^{\lambda}$$\mathbb{Q}$

Giảm giá theo mật độ xác suất

$S_t$

$$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$$ $\mathbb{P}$$(r_t)$$\sigma_t$$(W_t)$ theo biện pháp trung tính rủi ro phải giống như được tạo bởi chuyển động Brownian vật lý theo thước đo vật lý, để áp dụng Định lý biểu diễn Martingale.)

$T$$X_T$$X_t$

$$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$$ $(\psi_t)$$X_t$

$M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

$$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$$ $T$

$L_T = \frac{M_T}{M_0}$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

$e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$$T$$X_T$$0$$X_0$$\mathbb Q$$\mathbb Q$$\frac{d X_t}{X_t}$

$(Y_t)$$e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$$\mathbb P$$(\frac{Y_t}{X_t})$$\mathbb Q$

Chuyển tiếp đo

$X_t = P(t,T)$$t$$T$$X_T = P(T,T) = 1$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$$ $\xi_t$

$(r_t)$$\xi = 0$

$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$$ $$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \xi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$M_t$$\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Nhận xét thực nghiệm

$\mathbb Q$$\mathbb Q$

$F(t,T)$$t$$T$

$$F(t,T) P(t,T) = S_t$$ $\mathbb P$$F(t,T)$$\mathbb Q$

$$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$$ $P(t,T)$ $$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$$ $P(t,T)$