Tại sao số E-series khác với lũy thừa 10?

Số E-series là các giá trị phổ biến được sử dụng trong điện trở. Ví dụ: các giá trị E6 là:

• 1
• 1,5
• 2.2
• 3,3
• 4,7
• 6,8

Như bạn có thể thấy, mỗi cái khoảng cách nhau. Nhưng tôi tự hỏi tại sao họ không có quyền hạn của10$10^\frac16$ làm tròn đến 2 con số đáng kể.$10^\frac16$

• $10^\frac16 \approx 1.4678$
• $10^\frac26 \approx 2.1544$
• $10^\frac36 \approx 3.1623$
• $10^\frac46 \approx 4.6416$
• $10^\frac56 \approx 6.8129$

3.1623 không nên làm tròn đến 3,3 cho dù làm tròn lên hay xuống. Và bằng cách làm tròn đến số gần nhất, 4,66416 vòng thành 4,6.

Điều tương tự cũng xảy ra trong các giá trị E-series khác. Ví dụ, quyền hạn của làm tròn đến 2 con số quan trọng là:$10^\frac{1}{12}$

• $10^\frac{0}{12} \approx 1.0$
• $10^\frac{1}{12} \approx 1.2$
• $10^\frac{2}{12} \approx 1.5$
• $10^\frac{3}{12} \approx 1.8$
• $10^\frac{4}{12} \approx 2.2$
• $10^\frac{5}{12} \approx 2.6$
• $10^\frac{6}{12} \approx 3.2$
• $10^\frac{7}{12} \approx 3.8$
• $10^\frac{8}{12} \approx 4.6$
• $10^\frac{9}{12} \approx 5.6$
• $10^\frac{10}{12} \approx 6.8$
• $10^\frac{11}{12} \approx 8.3$

Trong khi các giá trị E12 là:

• 1
• 1.2
• 1,5
• 1.8
• 2.2
• 2.7
• 3,3
• 3.9
• 4,7
• 5,6
• 6,8
• 8.2

Các số 2.7, 3.3, 3.9, 4.7 và 8.2 từ E12 khác với các số tương ứng được tính ở trên.

Vậy tại sao dãy E của các số ưa thích khác với lũy thừa 10 được làm tròn đến số gần nhất?

Tôi thực sự rất thích câu hỏi của bạn và chắc chắn đã trả lời nó. Câu hỏi của bạn làm tôi suy nghĩ và đọc thêm về chủ đề này. Và tôi thực sự đánh giá cao những gì tôi đã học được từ quá trình và rằng bạn đã kích thích quá trình đó cho tôi. Cảm ơn!

Bối cảnh lịch sử

Tôi sẽ không quay trở lại những ngày Babylon ở đây. (Có lẽ, toàn bộ khái niệm đã lùi xa đến thế, và xa hơn nữa.) Nhưng tôi sẽ bắt đầu khoảng một thế kỷ trước.

Charles Renard đã đề xuất một vài cách sắp xếp số cụ thể để chia các khoảng (thập phân). Ông tập trung vào việc phân chia một phạm vi thập kỷ theo 5, 10, 20 và 40 bước, trong đó logarit của mỗi giá trị bước sẽ tạo thành một chuỗi số học. Và chúng được gọi là R5, R10, R20 và R40. Tất nhiên, có nhiều sự lựa chọn khác người ta có thể thực hiện. Nhưng đó là của anh ấy, vào thời điểm đó.

Rõ ràng, một phạm vi thập kỷ có thể được chia thành nhiều cách (và bên cạnh đó, bạn cũng không phải tập trung vào phạm vi thập kỷ.) Một ý tưởng mở rộng tôi thấy các hệ thống đánh số Renard sử dụng R10 / 3, R20 / 3 và R40 / 3. Những điều này được giải thích có nghĩa là bạn sẽ dựa vào cách tiếp cận chuỗi thập kỷ R10, R20 và R40 nhưng sẽ đẩy mạnh các giá trị, ba lần một. Vì vậy, ví dụ, R20 / 3 có nghĩa là phát triển các số dựa trên R20, nhưng chỉ chọn mỗi thuật ngữ thứ 3:$10\cdot 10^\frac{0}{20}\approx 10$, $10\cdot 10^\frac{3}{20}\approx 14$, $10\cdot 10^\frac{6}{20}\approx 20$, $10\cdot 10^\frac{9}{20}\approx 28$, $10\cdot 10^\frac{12}{20}\approx 40$, $10\cdot 10^\frac{15}{20}\approx 56$và $10\cdot 10^\frac{18}{20}\approx 79$. Họ cũng đề nghị rằng nếu bạn đang tìm kiếm các bước tốt đẹp chỉ giữa$10$ và $40$ sau đó bạn chỉ có thể sử dụng một vài bộ đầu tiên trong số đó: 10, 14, 20, 28 và 40.

Nếu bạn muốn đọc thêm, những điều trên và nhiều hơn nữa có thể được tìm thấy trong một ấn phẩm có tên NBS Technical Note 990 (1978) . (Cục Tiêu chuẩn quốc gia [NBS] hiện là NIST.)

Trong khi đó, sau WW II, đã có một sự thúc đẩy mạnh mẽ đối với việc tiêu chuẩn hóa các bộ phận sản xuất. Vì vậy, các nhóm khác nhau, tại nhiều thời điểm, đã làm việc khá chăm chỉ để "hợp lý hóa" các giá trị tiêu chuẩn để hỗ trợ sản xuất, thiết bị, số lượng răng trên bánh răng, và ... tốt, hầu hết mọi thứ.

Lướt qua dãy số E ưa thích và ghi chú các tài liệu liên quan và lịch sử của chúng. Tuy nhiên, các tài liệu được đề cập trong trang Wikipedia đó không bao gồm cách các số ưu tiên được chọn. Vì thế, có "ISO 497: 1973, Hướng dẫn lựa chọn dãy số ưa thích và dãy chứa giá trị tròn hơn của số ưu tiên." và cũng "ISO 17: 1973, Hướng dẫn sử dụng số ưu tiên và dãy số ưu tiên." Tôi không có quyền truy cập vào các tài liệu đó, vì vậy tôi không thể đọc chúng mặc dù thực tế là ISO 497: 1973 đặc biệt có vẻ là một nơi tốt để đi.

E-Series (Hình học)

Tôi chưa tìm thấy bất kỳ chi tiết cụ thể nào về thuật toán chính xác được áp dụng vài thập kỷ trước cho câu hỏi bạn đã hỏi. Ý tưởng "số hóa hợp lý" không phải là một ý tưởng khó, nhưng quy trình chính xác được áp dụng vượt xa khả năng của tôi để chắc chắn về kỹ thuật đảo ngược bây giờ. Và tôi đã không thể khám phá ra một tài liệu lịch sử tiết lộ nó. Một số yếu tố chỉ có thể được đưa ra ánh sáng bằng cách sở hữu các tài liệu đầy đủ liên quan đến lựa chọn cuối cùng của họ. Và tôi chưa tìm thấy những tài liệu đó. Nhưng tôi tự tin rằng tôi đã có thể tìm ra những gì phải là quá trình của họ cho câu hỏi điện trở.

Một trong những điều được đề cập trong NBS Pub. 990, là thực tế rằng sự khác biệt và tổng của các số ưu tiên không nên, bản thân chúng, không phải là số ưa thích. Đây là một nỗ lực để cung cấp bảo hiểm cho các giá trị khác trong phạm vi thập kỷ khi các giá trị rõ ràng không đáp ứng nhu cầu (bằng cách sử dụng hai giá trị trong một sự sắp xếp tổng hoặc chênh lệch.)

Hãy nhớ rằng câu hỏi bảo hiểm này quan trọng hơn đối với loạt bài như E3 và E6 và hầu như không quan trọng đối với E24, ví dụ, có chứa trực tiếp nhiều giá trị can thiệp. Với ý nghĩ đó, sau đây là suy nghĩ của tôi về suy nghĩ của họ. Có lẽ nó sẽ không đi quá xa so với lý do thực tế cho quá trình "hợp lý hóa" các giá trị của họ và đưa ra quyết định cuối cùng về các giá trị ưa thích mà cuối cùng họ chọn sử dụng.

Lý luận của tôi

Có một bảng rất đẹp, đơn giản để xem tóm tắt các giá trị E-series cho điện trở: Vishay E-Series .

Dưới đây là hình ảnh của tôi về các giá trị E-series hai chữ số bao gồm các giá trị được tính toán:

Đây là quá trình của tôi, được đưa ra ở trên, mà tôi tin rằng có thể ít nhất giống với lý do được sử dụng nhiều năm trước:

1. Ý tưởng về phạm vi bảo hiểm là quan trọng nhất đối với E3 và ít quan trọng nhất đối với E24. Nhìn lướt qua E3 cho thấy một vấn đề với các giá trị làm tròn là 10, 22 và 46. Chúng đều là các số chẵn và không có cách nào có thể kết hợp các số lẻ chỉ sử dụng các số chẵn. Vì vậy, một trong những số này phải thay đổi. Họ không thể thay đổi 10. Và để thay đổi một, hai khả năng duy nhất còn lại là: (1) 10, 22, 47; hoặc (2) 10, 23, 46. Nhưng tùy chọn (2) có một vấn đề: sự khác biệt giữa 46 và 23 là 23, chính nó là một số trong chuỗi. Và đó là đủ lý do để loại bỏ tùy chọn (2). Điều này chỉ để lại tùy chọn (1) 10, 22 và [47]. Vì vậy, điều này xác định E3. (Tôi sẽ sử dụng [] để bao quanh các giá trị chuỗi đã sửa đổi và <> để bao quanh các giá trị phải được bảo tồn khỏi chuỗi trước đó.)
2. Đối với E6, nó phải bảo toàn các lựa chọn giá trị của E3, chèn các giá trị của chính nó vào giữa. Trên danh nghĩa, E6 sau đó là <10>, 15, <22>, 32, [47] và 68. Tuy nhiên, sự khác biệt giữa 32 và 22 là 10 và đây là một trong các giá trị đã có trong chuỗi. Ngoài ra, 47 trừ 32 là 15. Một lần nữa, 32 có liên quan đến một tình huống có vấn đề. Cả 22 và 47 đều không thể thay đổi (chúng được kế thừa.) Vì vậy, lựa chọn rõ ràng (và duy nhất) là điều chỉnh trình tự E6 thành <10>, 15, <22>, [33], [47] và 68. Sự khác biệt và giá trị tổng bây giờ cũng cung cấp bảo hiểm .
3. Đối với E12, nó phải bảo toàn các lựa chọn giá trị của E6, chèn các giá trị của chính nó. Trên danh nghĩa, E12 sau đó là <10>, 12, <15>, 18, <22>, 26, [33], 38, [47], 56, <68> và 83. Số 83 đã có vấn đề, vì 83 trừ 68 là 15 và điều đó đã có trong chuỗi. 82 là sự thay thế gần nhất. Ngoài ra, khoảng giữa 22 và 26 là 4, trong khi khoảng giữa 26 và 33 là 7. Các nhịp nên, nói một cách đại khái, sẽ tăng đơn điệu. Tình huống này là nghiêm trọng và tùy chọn duy nhất là điều chỉnh 26 sang lựa chọn gần nhất tiếp theo, 27. Trình tự hiện là <10>, 12, <15>, 18, <22>, [27], [33], 38, [47], 56, <68> và [82]. Nhưng chúng ta lại gặp vấn đề với 38, với nhịp trước là 5 và nhịp sau là 9. Một lần nữa, cách khắc phục duy nhất cho việc này là điều chỉnh 38 thành lựa chọn gần nhất tiếp theo, 39.
4. E24 trải qua một quá trình tương tự. Nó bắt đầu, trên danh nghĩa, như: <10>, 11, <12>, 13, <15>, 16, <18>, 20, <22>, 24, [27], 29, [33], 35, [39], 42, [47], 51, <56>, 62, <68>, 75, [82] và 91. Tôi nghĩ bây giờ, bạn có thể áp dụng logic tôi đã áp dụng trước đó và nhận được trận chung kết trình tự (không bỏ chỉ số <> mà để lại chỉ báo []): 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, [27], [30], [33], [36 ], [39], [43], [47], 51, 56, 62, 68, 75, [82] và 91.

Tôi nghĩ bạn sẽ đồng ý quy trình này là hợp lý và dẫn trực tiếp đến những gì chúng ta thấy ngày hôm nay.

(Tôi đã không sử dụng logic được áp dụng cho tất cả các giá trị E-series gồm 3 chữ số: E48, E96 và E192. Nhưng tôi nghĩ rằng đã có đủ ở trên và tôi tin rằng nó sẽ phát triển tương tự. Nếu bạn tìm thấy bất cứ điều gì khác , Tôi cũng sẽ vui mừng khi xem nó.)

Quá trình hợp lý hóa cuối cùng, hướng tới những con số ưa thích, sau đó trông giống như thế này:

Ở trên, bạn có thể thấy các bước liên quan và nơi thay đổi được thực hiện và cách chúng được tiến hành (tất nhiên là đọc từ phải sang trái).

Ghi chú

• Tổng hoặc hiệu của các số ưu tiên có xu hướng tránh là một số ưa thích, nếu có thể. Điều này là cần thiết để cung cấp càng nhiều bảo hiểm càng tốt.
• Sản phẩm, hoặc thương số, hoặc bất kỳ công suất dương hoặc âm tích phân nào của các số ưu tiên sẽ là một số ưu tiên.
• Bình phương một số ưa thích trong sê-ri E12 tạo ra một giá trị trong sê-ri E6. Tương tự, bình phương một số ưa thích trong chuỗi E24 tạo ra một giá trị trong chuỗi E12. Vân vân.
• Lấy căn bậc hai của một số ưa thích trong sê-ri E12 tạo ra giá trị trung gian trong sê-ri E24 không có trong sê-ri E12. Tương tự, lấy căn bậc hai của một số ưa thích trong sê-ri E6 tạo ra giá trị trung gian trong sê-ri E12 không có trong sê-ri E6. Vân vân.

Những điều trên là hoàn toàn chính xác khi sử dụng các giá trị lý thuyết hơn là các giá trị ưa thích. (Các giá trị ưa thích đã được điều chỉnh, do đó sẽ có một số sai lệch do thực tế đó, sử dụng các giá trị ưa thích thay vì các giá trị chính xác.)

Câu hỏi thú vị khiến tôi phải tìm hiểu và tìm hiểu một số lịch sử của các vấn đề và lý do đằng sau những con số ưa thích mà trước đây tôi chưa hiểu rõ.

Vì vậy, cảm ơn!