Phương pháp tính áp suất thất bại trong bình chứa hình trụ?

Có một công thức hoặc phương pháp để tính áp lực thất bại của một thùng chứa hình trụ bằng vật liệu, độ dày và kích thước đã biết?

Trong câu trả lời này, tôi đặt mục tiêu mở rộng cuộc thảo luận sang các xi lanh có thành dày hơn. Nếu bạn muốn bỏ qua các phép toán, áp lực được tóm tắt ở phía dưới.

ĐIỀU KHOẢN ĐƯỢC ĐỊNH NGH: A:

$ \ sigma_ {rr} $ - thành phần xuyên tâm của ứng suất

$ \ sigma _ {\ theta \ theta} $ - thành phần chu vi của ứng suất

$ \ sigma_ {zz} $ - thành phần dọc của ứng suất

Trong câu trả lời này, tôi sẽ cho rằng thất bại xảy ra trong các bức tường cong của hình trụ. Các chế độ thất bại khác nhau, có thể được xem xét, nhưng đó là ngoài phạm vi câu trả lời của tôi. Theo trực giác của tôi, các bức tường cong là điểm yếu của sự thất bại, nhưng tôi sẽ để lại cuộc thảo luận về điều đó cho các câu trả lời đủ điều kiện hơn.

YIELD ĐẦU TIÊN

Khi nói đến việc xác định sự thất bại của các hình trụ có thành dày (xác định sự thất bại xảy ra thì năng suất cá thể xảy ra ở bất kỳ đâu trong hình trụ), phương trình của Lamé rất hữu ích. Các phương trình này đưa ra các ứng suất nằm trong mặt phẳng của tiết diện tròn của hình trụ:

Lưu ý trục đối xứng quay đang di chuyển ra khỏi trang, bình thường đến mặt cắt ngang.

Các phương trình của Lamé bắt nguồn từ phương trình cân bằng chi phối cho một vật rắn đối xứng:

$$ \ frac {\ part} {\ part r} \ left (r \ sigma_ {rr} \ right) = \ sigma _ {\ theta \ theta} $$

Trong đó $ r $ là khoảng cách của điểm mà ứng suất đang được xem xét từ trục đối xứng quay.

Các phương trình của Lamé được đưa ra là:

$$ \ sigma_ {rr} = A - \ frac {B} {r ^ 2} $$ $$ \ sigma _ {\ theta \ theta} = A + \ frac {B} {r ^ 2} $$

Trong đó $ A $ và $ B $ là các hằng số tùy ý.

Đối với hình trụ có áp suất bên trong $ p $, không có áp suất bên ngoài, bán kính bên trong $ a $ và độ dày $ t $, các phương trình này trở thành:

$$ \ sigma_ {rr} = \ frac {p} {m ^ 2-1} \ left (1- \ frac {m ^ 2a ^ 2} {r ^ 2} \ right) $$ $$ \ sigma _ {\ theta \ theta} = \ frac {p} {m ^ 2-1} \ left (1+ \ frac {m ^ 2a ^ 2} {r ^ 2} \ right) $$

Trong đó $ m = 1 + \ frac {t} {a} $ (tức là tỷ lệ giữa bán kính bên ngoài và bán kính bên trong). Lưu ý rằng khi $ t $ trở nên nhỏ hơn, $ m $ tiếp cận 1 và cách tiếp cận nhấn mạnh rằng

Để xác định thành phần ứng suất cuối cùng, thật hợp lý khi giả định rằng, cách xa các cạnh của hình trụ, ứng suất dọc trục không đổi trong các bức tường. Sự căng thẳng này sẽ phản đối áp lực tác động lên đầu xi lanh:

$$ \ sigma_ {zz} = \ frac {p} {m ^ 2-1} $$

Đây là một sơ đồ thô của ba ứng suất là hàm của $ r $:

Với ba thành phần của stress đã biết, một sự phù hợp tiêu chí năng suất nên được sử dụng. Thông thường Tresca hoặc von Mise phù hợp với các kim loại như thép. Ở đây, tôi sẽ giả sử Tresca, nói rằng sản lượng đầu tiên xảy ra tại một điểm trên hình trụ bất cứ khi nào sau đây được thỏa mãn:

$$ \ max \ left (| \ sigma_ {rr} - \ sigma _ {\ theta \ theta} |, | {zz} | \ phải) = \ sigma_y $$

Trong đó $ \ sigma_y $ là ứng suất của vật liệu.

Bằng cách nhìn vào cốt truyện, có thể thấy rằng sản lượng sẽ xảy ra ở bên trong xi lanh, do đó có năng suất:

$$ | \ sigma_ {rr} - \ sigma _ {\ theta \ theta} | = \ frac {2m ^ 2} {m ^ 2-1} p = \ sigma_y $$

Do đó, thất bại bởi năng suất đầu tiên xảy ra khi:

$$ p = \ frac {m ^ 2-1} {2m ^ 2} \ sigma_y $$

Áp suất tối đa trước năng suất đầu tiên tăng theo độ dày, lên tới tối đa $ \ frac {\ sigma_y} {2} $ ở độ dày vô hạn.

SỰ SỤP ĐỔ

Ngay cả khi sản lượng xuất hiện lần đầu tiên, các bức tường của xi lanh sẽ không mở ra, tức là sự sụp đổ vẫn chưa xảy ra. Điểm xảy ra sự sụp đổ xảy ra sau sản lượng đầu tiên: bạn có bao giờ mong đợi một hình trụ dày vô hạn sẽ nổ không? Áp suất sập rất hữu ích để xác định vì tại thời điểm này, xi lanh không giữ được nội dung được điều áp.

Khi sản lượng đầu tiên xảy ra, vẫn còn các vùng trong xi lanh vẫn chưa có năng suất, và do đó, các phần bên trong được giữ lại. Khi bạn tăng áp suất vượt quá năng suất đầu tiên, bạn sẽ có được một vùng nhựa của vật liệu năng suất hình thành ở mặt trong của xi lanh và leo dọc theo chiều dày xi lanh về phía mặt ngoài:

Sự sụp đổ xảy ra ngay khi vùng nhựa chạm vào mặt ngoài của xi lanh. Vấn đề trong việc cố gắng tính toán tải trọng này là độ co giãn không còn áp dụng: phương trình Lamé, chỉ có giá trị đối với hình trụ đàn hồi tuyến tính, sẽ không có giá trị. Tuy nhiên, phương trình cân bằng quản lý vẫn được áp dụng: trạng thái cân bằng phải được duy trì bất kể luật vật chất có tuyến tính hay không. Do vùng nhựa đã mở rộng qua toàn bộ mặt cắt, nên chúng tôi ít giả sử rằng các ứng suất tuân theo tiêu chí của Tresca trong toàn bộ xi lanh (giả định này có giá trị theo Định lý giới hạn dưới, trả về ước tính áp suất sụp đổ phải nhỏ hơn áp lực sụp đổ thực tế, đưa ra một ước tính bảo thủ):

$$ \ sigma _ {\ theta \ theta} - \ sigma_ {rr} = \ sigma_y $$

Bây giờ chúng ta có thể thay thế điều này vào phương trình cân bằng để đưa ra:

$$ r \ frac {\ part \ sigma_ {rr}} {\ part r} = \ sigma_y $$

Giải quyết điều này và áp dụng các điều kiện biên sau đó tạo áp lực sụp đổ là:

$$ p = \ ln {(m)} \ sigma_y $$

Thật thú vị, với tất cả $ m $ dương, $ \ ln (m) $ lớn hơn hoặc bằng $ \ frac {m ^ 2-1} {2m ^ 2} $, do đó, sản lượng đầu tiên phải luôn xảy ra trước khi sụp đổ. Chỉ khi $ m $ tiếp cận 1 (tường mỏng) thì áp lực đối với năng suất đầu tiên và cách tiếp cận sụp đổ là bằng nhau.

TÓM TẮT

Đối với thất bại bởi năng suất đầu tiên, áp lực phải là:

$$ p = \ frac {m ^ 2-1} {2m ^ 2} \ sigma_y $$

Đối với thất bại do sụp đổ, áp lực phải là:

$$ p = \ ln {(m)} \ sigma_y $$

Trong đó $ m $ là tỷ lệ của bán kính ngoài và bán kính trong.

Đây là một cốt truyện thô cho cả hai:

Khi $ m $ tăng, giới hạn năng suất đầu tiên tăng lên tối đa $ \ frac {\ sigma_y} {2} $, trong khi giới hạn thu gọn tăng lên vô cùng. Để giới hạn thu gọn gấp đôi giới hạn năng suất đầu tiên, $ m $ cần ở khoảng 2.2.

Có một công thức đơn giản để tính toán ứng suất trong các bình chịu áp lực có thành mỏng. Theo hướng chu vi, công thức là:

$$ \ sigma_c = \ frac {pr} {t} $$

và theo hướng dọc (dọc theo chiều dài của hình trụ):

$$ \ sigma_x = \ frac {pr} {2t} $$

Ở đâu:

$ p = $ áp suất bên trong xi lanh,

$ r = $ bán kính trong của hình trụ và

$ t = $ độ dày của tường $ (r / t \ ​​geq 10) $.

Với công thức này, việc tính toán áp suất của tàu sẽ thất bại là gì, dựa trên tính chất vật liệu của nó và bất kỳ yếu tố an toàn nào bạn muốn.

Lưu ý rằng $ \ sigma_c $ và $ \ sigma_x $ được giả sử là không đổi trong toàn bộ thành của hình trụ và các thành của hình trụ phải chịu lực căng.

Nguồn: Cơ học vật liệu Phiên bản thứ chín bởi R.C. Hibbeler.

Nếu bạn vẽ sơ đồ cơ thể tự do của một nửa hình trụ như một vòm và vẽ các vectơ lực áp lực, nó có lực áp lực tỏa ra xung quanh toàn bộ bề mặt với cường độ bằng nhau nhưng quạt ra 180 độ. Phép chiếu hướng lên của các vectơ này sẽ tổng hợp thành: $ p \ cdot 2r = \ text {lực bên} $.

Lực này phải được thực hiện bằng độ dày gấp 2 lần chiều dài tường x đơn vị. Do đó chúng tôi nhận được $$ pr = \ sigma t $$ Nhưng cuối cùng, chúng ta có $$ \ frac {p \ pi r ^ 2} {2rt} = \ frac {p \ pi r} {2} $$

Tuy nhiên, chúng tôi phải tính toán độ vênh do áp suất bên ngoài cao hơn.

Một ước tính rất sơ bộ cho việc vênh là giả định toàn bộ áp suất bên ngoài được hỗ trợ ở các cạnh của vật chứa trong các khớp thời điểm kết thúc cố định là các mố của vòm nếu thùng chứa dài ($ l & gt; 4r $).

Nếu có tệp đính kèm hoặc chất làm cứng thì phải được mô hình hóa bằng cách xem xét tổng hình học. Chúng tôi đã thấy một đến nhiều lon coca đông lạnh xoắn còn lại trong tủ đông.