Bằng chứng về nguyên tắc của công việc ảo

Tôi gặp một số khó khăn trong việc tìm hiểu bằng chứng về Nguyên tắc làm việc ảo cho các cơ thể biến dạng. Tôi sẽ đưa ra dưới đây bằng chứng rằng tôi đã đọc, và, tiếp theo, tôi sẽ nhận xét những gì tôi không hiểu.

Điều đầu tiên cần nhớ trước khi đi qua bằng chứng là công việc ảo được thực hiện bởi một hệ thống các lực ảo ở trạng thái cân bằng khi một cơ thể cứng nhắc trải qua một sự dịch chuyển nhỏ, tương thích là bằng không.

BẰNG CHỨNG:

Giả sử rằng một cơ thể biến dạng ở trạng thái cân bằng tĩnh dưới tải trọng bên ngoài của hệ thống ảo . $Q$

Do toàn bộ cơ thể ở trạng thái cân bằng, nên bất kỳ hạt cụ thể nào cũng có thể được phân lập và sẽ ở trạng thái cân bằng dưới các ứng suất ảo bên trong được phát triển bởi các lực ảo bên ngoài . $Q$ $Q$

Bây giờ giả sử rằng cơ thể phải chịu một sự thay đổi nhỏ về hình dạng gây ra bởi một số nguồn khác ngoài hệ thống -force ảo . Do sự thay đổi hình dạng này, bất kỳ hạt nào cũng có thể bị biến dạng cũng như được dịch và xoay như một hạt cứng. Do đó, ranh giới của một hạt như vậy sẽ di chuyển và do đó làm công việc ảo. Đặt công việc ảo được thực hiện bởi nhấn mạnh vào ranh giới của hạt vi phân được chỉ định bởi . Một phần của công việc ảo này sẽ được thực hiện do sự chuyển động của các ranh giới của hạt gây ra bởi sự biến dạng của chính hạt; phần này sẽ được gọi là . Phần còn lại của $Q$ $Q$ $\text{d}W_s$ $\text{d}W_d$ $\text{d}W_s$ sẽ là công việc ảo được thực hiện bởi các ứng suất trong phần còn lại của sự dịch chuyển của các ranh giới và sẽ bằng . Tuy nhiên, điều này còn lại là do sự dịch mã và xoay của hạt như một cơ thể cứng nhắc, và như đã nhắc ở trên, công việc ảo được thực hiện trong trường hợp như vậy bằng không. Vì thế $Q$ $\text{d}W_s-\text{d}W_d$

d W_{s} = d W_{d}

$\text{d}W_s=\text{d}W_d$

Nếu công việc ảo được thực hiện bởi nhấn mạnh vào tất cả các hạt của cơ thể được thêm vào, phương trình này sẽ trở thành $Q$

W_{s} = W_{d}

$W_s=W_d$

Để đánh giá đầu tiên , chúng tôi nhận ra rằng thuật ngữ này đại diện cho tổng số công việc ảo thực hiện bởi các ảo căng thẳng trên tất cả các ranh giới của tất cả các hạt. Tuy nhiên, đối với mỗi ranh giới bên trong của một hạt, có một hạt liền kề có ranh giới liền kề thực sự là cùng một đường trên cơ thể, và do đó các ranh giới liền kề này được dịch chuyển chính xác cùng một lượng. Do các lực tác dụng lên hai ranh giới bên trong liền kề bằng nhau nhưng ngược chiều nhau, nên tổng công việc ảo được thực hiện trên cặp ranh giới bên trong liền kề bằng không. Do đó, vì tất cả các ranh giới bên trong xảy ra theo cặp, không có công việc ảo thực hiện bởi các lực lượng trên tất cả các ranh giới bên trong. $W_s$ $Q$ $W_s$ do đó chỉ bao gồm các công việc được thực hiện bởi các lực bên ngoài trên các ranh giới bên ngoài. $Q$

Mặt khác, đã thu được bằng cách tích hợp công việc ảo liên quan đến biến dạng của phần tử. Công việc này bao gồm các tác động của tất cả các lực đối với nguyên tố, cả kết quả ứng suất và ngoại lực. Tuy nhiên, khi một yếu tố biến dạng, chỉ có các kết quả căng thẳng thực hiện bất kỳ công việc nào. Do đó, Wd đại diện cho công việc ảo được thực hiện bởi các kết quả căng thẳng một mình. $W_d$

KẾT THÚC

Tôi hiểu phần liên quan đến . $W_s$

Tuy nhiên, tôi không hiểu tại sao "khi một yếu tố biến dạng, chỉ có các kết quả căng thẳng thực hiện bất kỳ công việc nào".

Tiếp theo, người ta nói rằng " đại diện cho công việc ảo được thực hiện bởi các kết quả căng thẳng một mình". Nhưng, theo đoạn liên quan đến , công việc này phải bằng 0, vì tất cả các ranh giới bên trong của hạt xảy ra theo cặp và một bên của ranh giới bên trong của hạt trải qua sự dịch chuyển giống như mặt chung của hạt lân cận và như vậy hai bên phải chịu ứng suất tương đương và ngược nhau, tương ứng. $W_d$ $W_s$

Nếu chúng ta áp dụng nguyên tắc này theo kết luận (thiếu sót) của tôi, tất cả các điểm của cơ thể biến dạng sẽ không trải qua bất kỳ sự dịch chuyển nào: hoàn toàn vô nghĩa.

Lỗ hổng trong lý luận của tôi ở đâu?

structural-analysis

— muimerp
nguồn

Nếu nó đã được chứng minh, tại sao họ gọi nó là "nguyên tắc"? Nguyên tắc không có bằng chứng nói chung, phải không? Nếu đây thực sự là một bằng chứng, bạn nên gọi nó là một định lý thay thế.

— Mohamed

Thật vậy, một số tác giả đặt tên cho đề xuất này là Định lý của Công việc ảo. .

— muimerp

Tôi đồng ý từ ngữ ở đây không rõ ràng như nó phải được. Hãy thử nhìn vào một số nguồn khác, điều này sẽ được tìm thấy trong bất kỳ văn bản cơ học / độ co giãn.

— đặc vụ

Tôi đã xem qua bốn cuốn sách khác nhau. Họ đều đưa ra bằng chứng tương tự. Nhưng tôi sẽ làm theo lời khuyên của bạn (@agentp) và xem cách họ chứng minh điều đó trong sách co giãn.

— muimerp

Nó trở nên dễ dàng hơn để làm theo khi bạn chuyên về độ đàn hồi. Wdsau đó trở thành năng lượng căng thẳng. Nó cũng có thể được xử lý theo các yếu tố rời rạc như lò xo, sau đó Wdlà 1/2ku^2năng lượng mùa xuân. Điều trị này là trừu tượng về "công việc liên quan đến biến dạng" mà có lẽ làm cho nó khó theo dõi.

— đặc vụ

Câu trả lời:

Hãy tưởng tượng một chùm chiều với cạnh trái của nó cố định tại và cạnh phải của nó tại . Bây giờ hãy tưởng tượng bạn đẩy vào cạnh phải. Chuyện gì xảy ra Các chùm sẽ hợp đồng. Hãy tập trung vào một khu vực vô cực tại một số điểm ở giữa thanh. $x=0$ $x=L$

Điều gì xảy ra với khu vực này? Bằng chứng bạn trích dẫn phá vỡ sự chuyển động của khu vực này thành hai phần: một chuyển động cứng nhắc và một căng thẳng. Chuyển động cứng không thể dẫn đến bất kỳ công việc nào trong khu vực nhỏ, về cơ bản vì ứng suất đồng đều trong toàn bộ chùm tia, do đó bạn có các lực đối diện ở bên trái và bên phải của khu vực, nhưng cùng một sự dịch chuyển nên tổng công việc bằng không (đây là lời nhắc trước khi chứng minh).

Nhưng sự căng thẳng có thể gây ra công việc. Thành phần biến dạng của chuyển động tương ứng với tâm của vùng còn lại và các đầu chuyển động. Trong trường hợp này, lực ngược lại ở cả hai đầu, nhưng sự dịch chuyển cũng ngược lại, do đó bạn có được một công việc ròng. Khi chúng ta nhìn vào công việc theo cách này, ranh giới bên trái của khu vực của chúng ta di chuyển sang bên phải, trong khi ranh giới bên phải của khu vực hte bên trái di chuyển sang bên trái, do đó không có sự hủy bỏ rõ ràng.

$W_d$ $8L$ $4L$ $F$ $2L$ $L/2$ $2 F L/2=FL$ $4FL$ $W_d$

$L$ $FL$ $L$ $2L$ $-FL+2FL$ $FL$ $-2L+3L$ $-3L + 4L$ $FL$ $0 + FL - FL + 2FL-2FL+3FL-3FL+4FL$

Câu trả lời trên được sao chép từ trang trao đổi ngăn xếp vật lý .

— Brian Moth
nguồn

Tôi không nghĩ câu trả lời của bạn hoàn toàn thỏa mãn, nhưng có một điểm khi bạn nói rằng "ranh giới bên trái của khu vực của chúng tôi di chuyển sang bên phải, trong khi ranh giới bên phải của khu vực hte bên trái di chuyển sang bên trái, vì vậy không có hủy bỏ rõ ràng. " Nhưng, bây giờ, làm thế nào để bạn bình luận rằng với những gì được nói trong bằng chứng tôi đã trích dẫn ("vì các lực tác động lên hai ranh giới bên trong liền kề bằng nhau nhưng ngược chiều nhau, toàn bộ công việc ảo được thực hiện trên cặp liền kề ranh giới nội bộ bằng không. ")?

— muimerp

Nó phụ thuộc vào khung hình nào bạn xem chuyển động trong khung của từng vùng vô hạn, sau đó bạn có được một tác phẩm tích cực trên ranh giới của từng vùng. Tuy nhiên, nếu bạn xem chuyển động trong khung phòng thí nghiệm, thì việc hủy bỏ mà bạn đang nói đến là rõ ràng. Điều này được cho là được minh họa rõ ràng trong ví dụ của tôi với thanh một chiều.

— Brian Moths

Cuối cùng tôi đã hiểu bằng chứng. Tôi sẽ đăng câu trả lời sau. Câu trả lời của bạn không thỏa mãn, thậm chí khó khăn khi bạn nói điều gì đó là chính xác.

— muimerp

Hơn nữa, các giá trị bạn đưa ra cho biến dạng của từng mảnh là hoàn toàn không thực tế.

— muimerp

Bằng chứng là, như dự kiến, chính xác. Nhưng nó có thể được làm rõ hơn nếu chia nhỏ trong các bước bổ sung.

$\text{d}W_t,$

d W_{t} = d W_{r} + d W_{d},

$\text{d}W_t=\text{d}W_r+\text{d}W_d,$

d W_{r}

$\text{d}W_r$

d W_{d}

$\text{d}W_d$

d W_{r} = 0

$\text{d}W_r=0$

d W_{t} = d W_{d} .

$\text{d}W_t=\text{d}W_d.$

W_{t} = W_{d} .

$W_t=W_d.$

Để đánh giá là công việc được thực hiện bởi các ứng suất ảo bên trong do sự dịch chuyển của các điểm của ranh giới $W_t$ $B$ $\text{d}W_t^B,$

d W_{t}^{B} = d W_{r}^{B} + d W_{d}^{B},

$\text{d}W_t^B=\text{d}W_r^B+\text{d}W_d^B,$

d W_{r}^{B}

$\text{d}W_r^B$

B

$B$

d W_{d}^{B}

$\text{d}W_d^B$

B

$B$

d W_{r}^{B}

$\text{d}W_r^B$

d W_{d}^{B}

$\text{d}W_d^B$

d W_{r}^{B} + d W_{d}^{B}

$\text{d}W_r^B+\text{d}W_d^B$

$W_t$

$B$ $B$ $\text{d}W_d^B + \text{{d}W_d^B}'$ $\text{{d}W_d^B}'$ $B$

— muimerp
nguồn